E se $f$ é uma função real, contínua em $a$ e $f(a) < M$, então há um intervalo aberto $I$ contendo um tal que $f(x) < M$ para todos $x \in I$.

Question

Tenho problemas com relação a Se f é uma função real, contínua em aef (a) resposta. Se eu usasse$\epsilon =M-f(a)$ Que tambem é $\epsilon >0$ e $ \exists$ $ \delta>0$ então há um intervalo aberto $I$ contendo tal que $f(x)<M$ para todos $x \in I$. Acho que isso também está correto, mas não tenho certeza.

Alguém pode verificar minha resposta?

$\underline{Edit}$

Agora deixe $\epsilon = {M-f(a)}$, claramente $\epsilon >0$e, portanto, existe um intervalo aberto $I=(a-\delta, a+\delta)$, de modo que para qualquer $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ detém.

Segue que $f(x)<M$ para todos $x \in I$

Answer 1

A condição que $f$ é contínuo em $a$indica que \ begin {equation} \ lim_ {x \ a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {equation} Em outras palavras, temos a seguinte proposição: \ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0, \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <\ epsilon. \ end {equation} E temos a proposição que \ begin {equation} f \ left (a \ right) <M. \ end {equation} Usando o fato de que$M - f\left(a\right) > 0$, temos \ begin {equation} \ exists \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {equation} que indica ainda que \ begin {equation} \ existe \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {equation} Se não houver tal intervalo aberto$I$ este $f\left(x\right) < M$ para todos $x \in I$, então temos a seguinte proposição: \ begin {equation} \ forall \ delta> 0, \ exists x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {equation} que obviamente contradiz nossa conclusão.