Momentos de número de divisores de intervalo restrito

Question

Eu já fiz a pergunta Uma soma da função divisora ​​truncada onde a soma$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ era de interesse e foi respondido de forma satisfatória.

Aqui, estou interessado em estimar a seguinte quantidade $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ então os divisores são restritos em tamanho ou restritos ao intervalo $[1,m]$ não em `` número '' como em (1).

Quando $a=1,$ isso é direto (no que diz respeito à obtenção do termo principal), pois a soma pode ser avaliada horizontalmente $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ e normalmente estaria interessado em valores relativamente pequenos de $m$ em termos de $x$.

A respeito $a\neq 1$? Em particular,$a=1/2,$ ou $a=2,3,$ etc. Como estimar essas somas?

Answer 1

Nós presumimos $m\leq x$. Sua$S_1(x,m)$ é de fato, $x\log m + O(m)$.

Esta resposta encontra uma estimativa de $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ Onde $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

Para encontrar uma estimativa da primeira soma, deixe $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ Onde $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, nós escrevemos $d_1=dk$, $d_2=dl$ com $(k,l)=1$. Para estabelecer$(k,l)=1$, usamos a identidade $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, Onde $\delta_1(n)=1$ quando $n=1$, $0$por outro lado. Então$k=uv$, $l=uw$, para que $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Então

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ Por isso, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

Podemos ser capazes de obter $S_a(x,m)$pelo mesmo método. Porém, as somas resultantes são mais complicadas.