Pareamento BCS e par BEC entre férmions

Question

Em muitas notas de aula, ele aponta

Podemos ajustar o comprimento de espalhamento, usando ressonância de Feshbach, para realizar o cruzamento de BCS para BEC em gases Fermi degenerados. Quando o comprimento de espalhamento é negativo (positivo), obtemos o emparelhamento BCS (BEC).

No meu entendimento, o emparelhamento BCS é um par de Cooper com momentum líquido zero devido à aproximação BCS. O emparelhamento BEC é o modo coletivo de Random Phase Approximation, que é a superposição do par de Cooper com momento diferente de zero.$$\hat{b}_{q}=M_{pq}\hat{c}_{\downarrow q+\frac{p}{2}}\hat{c}_{\uparrow q-\frac{p}{2}}-N_{pq}\hat{c}^{\dagger}_{\uparrow -q-\frac{p}{2}}\hat{c}^{\dagger}_{\downarrow -q+\frac{p}{2}}$$ Onde $\hat{c}$ aniquila um Férmion.

Se meu entendimento estiver correto, as premissas de ambos os casos são pares de Cooper. A existência de pares de Cooper é baseada na interação atrativa entre partículas de Férmion. Assim, o par BEC também requer comprimento de espalhamento negativo.

Algumas imagens nestas notas de aula mostram,

quando ocorre o emparelhamento BEC, dois férmions formam uma molécula

que sugere que meu entendimento sobre o emparelhamento BCS e o emparelhamento BEC acima não está correto. Mesmo assim, ainda não consigo imaginar como a interação repulsiva pode resultar em uma molécula.

Então, minhas perguntas são:

1. o que é emparelhamento BCS ou emparelhamento BEC
2. como o sinal de comprimento decide o emparelhamento BCS ou emparelhamento BEC

Answer 1

Uma das melhores definições para BEC é do (diagonalizado na base $\{\chi_i\}$) matriz de densidade de partícula única $\rho_1$: $$ \rho_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_i n_i \chi^\ast _i (\mathbf{r})\chi_i (\mathbf{r}').$$

• E se $n_i$ é de ordem 1 para todos $i$;, então você está no estado "normal" (não condensado de Bose);
• Se um ( exatamente um) valor próprio$n_i$ está em ordem $N$(número total de partículas) enquanto os outros são de unidade de ordem, você tem um BEC (simples). Esse eigenstate específico tem uma ocupação macroscópica;
• Se mais de um autovalor estiver em ordem $N$, você tem um BEC fragmentado .

Para um sistema de Fermi, agora, o princípio de exclusão de Pauli proíbe imediatamente qualquer autovalor de exceder a unidade, portanto, um BEC no sentido literal não pode ocorrer .

Embora você possa se perguntar: e se construirmos a matriz de densidade a partir de estados de duas partículas (em vez de estados de uma única partícula)? Os estados de duas partículas podem ser uma molécula diatômica ou um par de Cooper (ambos seriam instáveis, a propósito, a menos que haja uma força de interação diferente de zero). Nesse caso, você poderia ter um autovalor de ordem$N$ e assim um simples (ou mesmo fragmentado) "BEC".

Mas BEC, no sentido literal, é tudo sobre:

• Ocupação macroscópica de um (ou poucos) estado de partícula única ;
• Sistemas não interagentes. A transição BEC é conduzida por estatísticas, não por interações.

Portanto, novamente, tudo o que chamamos de "BEC" no contexto de férmions não é literal e rigorosamente preciso.

Mas mesmo assim.

Digamos que você comece com um gás fermiônico diluído, que está interagindo de forma fraca e repulsiva. A força de interação é fraca o suficiente (e o gás é diluído o suficiente) para que seja suficiente apenas para ligar dois átomos em uma molécula. A molécula se comporta como um bóson e em um gás suficientemente diluído podemos negligenciar as interações intermoleculares para que possamos ter um BEC de moléculas (sim, você ainda pode ter estados ligados com interações repulsivas fracas). Este tipo de marca as duas caixas acima, pois é um único estado de "partícula" (molécula) e não está interagindo (aproximadamente). Observe que a natureza fermiônica dos constituintes subjacentes não importa (além de permitir a criação da molécula) porque em interações fracas e densidades baixas o raio do estado ligado é maior do que o tamanho atômico.

Agora torne a interação (ainda fraca) atrativa, de forma que você esteja aumentando a densidade do gás. As moléculas começam a se sobrepor (distância intermolecular <raio molecular), então você não pode mais ignorar as interações intermoleculares. O fato é que o sistema começa a se tornar "denso". As funções de onda se sobrepõem e você não pode ter as moléculas diatômicas claras e definidas que tinha antes. Você não sabe exatamente qual átomo está emparelhado com qual. Nesse regime, as "moléculas" são chamadas de pares de Cooper .

Isso é mostrado pictoricamente abaixo (foto tirada aqui ), onde as elipses mostram a "extensão" do emparelhamento e dos vínculos:

A discussão acima segue fortemente o livro Quantum liquids de Leggett , então deixe-me concluir com uma citação direta:

Pensar no processo de emparelhamento de Cooper como uma espécie de BEC ou como algo completamente diferente é talvez uma questão de gosto; no entanto, é importante observar que ele difere qualitativamente do BEC de moléculas di-fermiônicas diluídas [...].

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Resposta curta e direta às suas perguntas:

1. o que é emparelhamento BCS ou emparelhamento BEC

No contexto do cruzamento BCS-BEC, seus "pares BEC" seriam moléculas diatômicas formadas por dois férmions. Essa molécula se comporta como um bóson porque, nas interações fracas e no limite diluído, seu tamanho é maior que os raios atômicos de forma que a natureza fermiônica de seus constituintes não é relevante para a dinâmica de espalhamento. Em outras palavras, você pode tratar esse "par" como uma única partícula (molécula) e pode condensá-los por Bose.

Os pares BCS são os pares Cooper. Quando o tamanho do par abrange uma área muito maior do que o próprio átomo, torna-se impossível saber com quais outros átomos ele está emparelhado. Portanto, você não tem sistemas compostos bem definidos como as moléculas diatômicas antes. Essa ideia de elétrons no par de Cooper é geralmente simplificada demais e leva à confusão. Para citar o próprio John Bardeen (o 'B' em BCS):

A ideia de elétrons emparelhados, embora não totalmente precisa, capta o sentido disso.

1. como o sinal de comprimento decide o emparelhamento BCS ou emparelhamento BEC

O que faz a diferença é a extensão espacial do par (molécula ou Cooper) em relação à distância entre os pares. Você também pode ter uma coisa pseudo-BCS / BEC com interações atraentes e variando apenas a densidade.

No caso de átomos frios experimentais, acabou-se descobrindo que os valores fracos de intensidades de interação positiva e negativa resultaram em um diagrama de fase útil: