Se $g$ é uma função contínua e crescente de $x$, prove isso $g(X)$ é uma variável aleatória.

Dec 18 2020

O Exercício 2.3.12 do Grimmet Stirzaker Probability and Random processespergunta o seguinte. Eu gostaria, se vocês pudessem ajudar a verificar minha solução.

Deixar $X$ ser uma variável aleatória e $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser contínuo e estritamente crescente. Mostra isso$Y = g(X)$ é uma variável aleatória.

Minha solução.

Como $g$é uma função monotonicamente crescente, é injetiva (um para um). Ou seja, se$x_1 < x_2$, então $g(x_1) < g(x_2)$. Portanto,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Eu não tenho certeza de como deduzir, que $g$ é sobrejetiva (para).

Se $g$ é bijetivo, a função inversa $g^{-1}$ existe e está bem definido.

Portanto, o conjunto

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

Desde a $X$é uma variável aleatória. Consequentemente,$g(X)$ é uma variável aleatória.

Respostas

1 DannyPak-KeungChan Dec 18 2020 at 01:00

A continuidade e a monotonicidade estrita de $g$são irrelevantes. O que é necessário é que$g$é uma função do Borel. Observe que qualquer condição "$g$ é contínuo ","$g$ é um aumento monotônico "implica que $g$ é uma função do Borel.

Suponha que $g$é uma função do Borel. Deixar$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Observe aquilo$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ Porque $g^{-1}(A)$é um conjunto de Borel. Conseqüentemente$g(X)$ é $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-mensurável, ou seja, uma variável aleatória.