Возможно ли, что $2^{2A}+2^{2B}$ это квадратное число?
Пусть A и B два натуральных числа больше, чем $0$. Возможно ли, что$2^{2A}+2^{2B}$ это квадратное число?
У меня возникли проблемы с этим упражнением, потому что я чувствую, что ответ отрицательный, но я не могу уточнить доказательства. До сих пор я думал, что есть какое-то целое число$C>0$ такой, что $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. потом$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Я пытался понять, может ли предыдущее выражение противоречить, но я застрял. Все, что я смог найти, это то, что$C$должно быть четным числом, но, похоже, это меня никуда не приведет. Буду признателен за любую помощь.
Заранее спасибо!
Ответы
Без ограничения общности пусть $A>B$. потом$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ квадрат означает $2^{2A-2B}+1$ квадрат как $2^{2B}$это квадрат. Но это невозможно, так как$2^{2A-2B}$ это квадрат.
Ответ Шубхраджита Бхаттачарьи дает простое и прямое доказательство того, что $2^{2A}+2^{2B}$не может быть квадратом. Но ради удовольствия, давайте закончим подход OP (который, как я изначально думал, завел в тупик).
Если $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, тогда $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, которое значит что $2^A+2^B+C$ и $2^A+2^B-C$ обе силы $2$, и, очевидно, разные степени$2$, сказать $2^a$ и $2^b$ с участием $a\gt b$ и $a+b=A+B+1$. Но это подразумевает
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Если теперь предположить без ограничения общности, что $A\ge B$, у нас есть
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Сейчас же $a\gt b$ подразумевает $2^{a-b}+1$ нечетное число больше, чем $1$, из чего следует, что мы должны иметь $A\gt B$ (иначе левая часть - это степень $2$, не кратное нечетному числу, большему, чем $1$). Это, в свою очередь, означает$b=B+1$ и $a-b=A-B$, откуда получаем
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
в противоречие с $a+b=A+B+1$.
Реплика: Меня немного удивила природа противоречия, и мне пришлось тщательно проверить свою работу, чтобы убедиться, что я не сделал глупой арифметической ошибки.
Просто сделай это.
Без ограничения общности предположим, что $A \le B$ так
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Итак, если это идеальный квадрат, тогда мы должны иметь $(2^{B-A})^2 + 1$ быть идеальным квадратом.
Но $(2^{B-A})^2$представляет собой идеальный квадрат, поэтому у нас есть два последовательных полных квадрата. Должно быть легко убедить себя, что единственный раз, который когда-либо случается, - это$0^2$ и $1^2$. (Доказательство в качестве дополнения).
Так что это может произойти только в том случае, если $(2^{B-A})^2 = 0$ и $(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Но $2^{B-A} = 0$ это невозможно.
====
Дополнение: тогда только два последовательных квадрата $0$ и $1$.
Доказательство: предположим $m^2 = n^2 + 1$. где$m,n$ неотрицательные целые числа. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ так $n < m \le m+1$. Но единственные целые числа между$n$ (эксклюзив) и $n+1$ (включительно) $n+1$ так $m = n+1$. И так$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ так $2n = 0$ и $n = 0$ и $m =1$.
Предположим, что $2^{2A}+2^{2B}$идеальный квадрат. Без потери общности предположим$A \geqslant B$. Тогда пусть$A-B=x$, где $x$- целое неотрицательное число. Отсюда следует, что мы имеем:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Теперь, если левая часть - идеальный квадрат, то правая часть также должна быть идеальным квадратом. Это следует из того$2^{2x}+1$идеальный квадрат. Пусть это будет$n^2$. Тогда у нас есть:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ Теперь нам нужно $n-1$ и $n+1$ чтобы оба были совершенными силами $2$. Это может произойти только для$n=3$. Однако даже тогда у нас было бы только$2^{2x}=8$ что невозможно как $x$целое число. Таким образом, решений не существует.
Мы бы хотели иметь $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, невозможно как $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.