โจทย์แคลคูลัสง่ายๆ
นี่คือคำถาม - ค้นหาพื้นที่สูงสุดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่จารึกไว้ในวงรี $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. ครูของฉันแก้ปัญหาโดยพิจารณาจุดสองจุดบนวงรีให้เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมคือ$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ และ $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (ขอแค่ว่า$\theta$ คือ theta) จากนั้นดำเนินการทดสอบอนุพันธ์ (ซึ่งฉันเข้าใจ) แต่เขาไม่ได้ระบุว่าอะไรของเรา $\theta$คือและประกาศว่าจุดเหล่านี้อยู่บนวงรีเสมอ ทำไมล่ะ? และแม้ว่าพวกเขาจะเป็นเช่นนั้นอะไรรับประกันได้ว่าจุดของแบบฟอร์มดังกล่าวจะเป็นจุดยอดที่เราต้องการ? ขอขอบคุณอีกอย่างหนึ่งหากคุณสามารถแนะนำวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้ได้ ขอขอบคุณ!
คำตอบ
หากเราเชื่อว่าอาร์กิวเมนต์สมมาตรเป็นเรื่องง่ายที่จะปรับพื้นที่ให้เหมาะสม:
$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$
$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$
$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$
$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$
คำตอบสำหรับสมการแรกรวมค่าต่ำสุดที่ $\theta=\pi$ และ maxima ที่ $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.
คำตอบสำหรับสมการที่สองรวมค่าต่ำสุดที่ $\theta=-\frac{\pi}{2}$ และ maxima ที่ $\theta = \frac{\pi}{6}$ และ $\frac{5\pi}{6}.$
ที่น่าสนใจเราได้รับโซลูชันที่สอดคล้องกับไฟล์ $x-$แกนและ $y-$แกน!
คุณสามารถแก้ปัญหาโดยใช้จุดสามจุดบนวงรีโดยพลการบังคับให้พวกเขานอนบนสามเหลี่ยม iscoceles จากนั้นใช้ตัวคูณ Lagrange การแก้ปัญหาจะกลายเป็นสิ่งที่พบข้างต้น