Monomorphisms ในประเภท functor
สมมติ $C$ เป็นหมวดหมู่ขนาดเล็กและ $D$เป็นหมวดหมู่ขนาดเล็กในท้องถิ่น ตอนนี้ให้$F, G$ เป็นสองวัตถุใน $D^C$ และปล่อยให้ $m:F\longrightarrow G$ เป็น morphism ใน $D^C$. จากนั้นฉันเดาว่าเรามี m เป็น monomorphism ถ้าและเฉพาะสำหรับแต่ละตัว$c\in Ob(C)$, $m_c: F(c)\longrightarrow G(c)$เป็น monomorphism ทิศทางหนึ่งง่ายต่อการพิสูจน์ แต่ฉันไม่รู้ว่าอีกทิศทางหนึ่งจริงหรือไม่ ถ้าเป็นเรื่องจริงแล้วจะมีข้อพิสูจน์อย่างไร? ถ้ามันไม่เป็นความจริงแล้วถ้า D เป็นหมวด abelian ล่ะ? โดยหลักแล้วฉันพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่ามันเป็นเรื่องจริงถ้า D เป็นหมวดหมู่ abelian แต่ฉันทำไม่ได้
คำตอบ
ผลลัพธ์นี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป พิจารณาหมวดหมู่$C$ สร้างโดยกราฟที่มีขอบ $x\rightrightarrows y\to z,w\to y$ซึ่งมี morphism ที่เป็นเอกลักษณ์ $x\to z$. มีการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติที่ไม่เหมือนใครระหว่าง functors ของโดเมน$0\to 1$ ด้วยภาพ $w\to y$ และ $y\to z$ซึ่งฉันอ้างว่าเป็น monomorphism แม้ว่า $y\to z$ ไม่ใช่ monomorphism ใน $C$. เหตุผลก็คือไม่มี functor$F:(0\to 1)\to C$ ยอมรับการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติเป็น $w\to y$ สามารถรวม $x$ ในภาพเนื่องจากไม่มีแผนที่เข้ามา $w$ จากการแมปวัตถุใด ๆ ลงใน $x$. ด้วยประการฉะนี้$F$ ปัจจัยผ่านหมวดหมู่ย่อย $w\to y\to z$ ของ $C$ซึ่งในหมวดหมู่ย่อยการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติของเรามีขาโมโน
ตามที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นผลลัพธ์จะเป็นจริงในหมวดหมู่ abelian ใด ๆ (หรือแม้แต่หมวดหมู่ที่มีการดึงกลับ) นอกจากนี้ยังเป็นจริงในหมวดหมู่ใด ๆ ที่ยอมรับผลิตภัณฑ์ร่วมถึงขนาดของชุดโฮม โดยประมาณเงื่อนไขทั้งสองนี้รับประกันได้ว่าคุณไม่เคยมีสถานการณ์ข้างต้นที่ไม่มีอะไรเทียบเคียงกับทั้งคู่ได้$x$ และ $w$แต่ฉันไม่รู้ว่าการตั้งสมมติฐานอย่างแม่นยำว่าสิ่งนั้นไม่เคยเกิดขึ้นจะเพียงพอหรือไม่ สำหรับเงื่อนไข coproduct อาร์กิวเมนต์ที่แน่นอนคือถ้า$\alpha:F\to G$ และ $\alpha_c:F(c)\to G(c)$ ไม่ใช่ monomorphism จากนั้นเป็นพยานถึง non-monomorphicity ของ $\alpha_c$, $f,g:x\to F(c)$เราสร้างพยานได้ $c_!f,c_!g:c_!x\to F$โดยใช้ฟังก์ชันส่วนขยาย Kan ด้านซ้าย $c_!$. สิ่งนี้ส่ง$x$ ถึง functor $y\mapsto \coprod_{\mathrm{Hom}(x,y)} x$และส่ง $f$ ไปสู่การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติเช่นนั้น $(c_!f_y)_k=F(k)\circ f$สำหรับใด ๆ $k:x\to y$.