ศักยภาพสำหรับ $A\,\nabla V$

Question

ปล่อย $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ ราบรื่นปล่อยให้ $A$ เมทริกซ์จริงของมิติที่ผันกลับไม่ได้ $n\times n$. พิจารณาฟิลด์เวกเตอร์ต่อไปนี้$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดเงื่อนไขบางอย่างใน $A$ ดังนั้น $F$ มีศักยภาพกล่าวคือมีอยู่ $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ ดังนั้น $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในกรณีนี้ $A$ เมทริกซ์แนวทแยง

Answer 1

นี่เป็นเท็จอย่างช่วยไม่ได้แม้ในกรณีแนวทแยง นี่คือสองตัวอย่าง (ติดตามความคิดเห็นของฉัน)

(1) รับ $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ และ $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. แล้ว$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ ไม่ใช่อนุรักษ์นิยม

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าถ้าเรายึดติดกับเมทริกซ์การหมุนและรับ $V$ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกแล้ว $A\nabla V$ จะมีขดอีกครั้ง $0$. ตัวอย่างเช่นด้วย$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, เราได้รับ $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่เราได้คอนจูเกตฮาร์มอนิกที่นี่

(2) รับ $V(x,y) = xy$ และ $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. แล้ว$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ ไม่ใช่อนุรักษ์นิยมเว้นแต่ $a=b$.