(2) 'nin ideal olduğu $\mathbb{Z}[i]$

(2) 'nin başlıca ideal olduğunu göstermek istiyorum $\mathbb{Z}[i]$.

Düşündün mü $2=(1+i)(1-i)$?

Bunun nasıl veya ne yapılacağından emin değilim $\mathbb{Z}[i]/2$ gibi görünüyor.

Belki gibi, bölüm halkaları anlama konusunda sitede bir kaç başka çözümler okumalı bu bir

Bunu da biliyorum $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[x]/(x^2+1)$ama neden olduğundan emin değilim.

Halkalar için ilk homomorfizm teoremini kullanarak bir harita ile kanıtlayabilirsiniz. $\mathbb Z[x]\to \mathbb Z[i]$ ikame edilerek verilir $i$ polinomlara $\mathbb Z[x]$.

Bu iddia yanlıştır. Bunu gözlemleyin$0 = (x+1)(x+1) \in \mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2)$. Bölümün bir alan olmadığı sonucuna varın, bu nedenle (2) asal değildir.

Ben düşünmüyorum $(2)$ ana idealidir $\mathbb{Z}[i]$. Umarım bu ikinci sorunuza cevap verebilir: Harita$\varphi: \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}[i], f \mapsto f(i)$iyi tanımlanmış bir halka homomorfizmidir. Şimdi bunu kontrol edebiliriz$\text{ker}(\varphi)=(x^2+1)$ ve şu $\varphi$ gerçekten de kuşatıcıdır, dolayısıyla $\mathbb{Z}[X]/(x^2+1) \cong \mathbb{Z}[i]$.

Evet, $\,R = \Bbb Z[i]\cong \Bbb Z[x]/f,\ f =x^2\!+\!1,\,$adh'ın cevabında olduğu gibi, Birinci İzomorfizm Teoremini hemen takip eder. Kanıtlamaya çalıştığından beri$2$ asal değil $\,R\,$ göstererek $\,R/2\,$bir etki alanı değil, bunu aşağıdaki gibi bölüm karşılıklılık kullanarak yapalım

$$\begin{align} \Bbb Z[i]/2 &\,\cong\, (\Bbb Z[x]/f)\,/\,(2,f)/f\\[.2em] &\,\cong\, \ \Bbb Z[x]/(2,f)\\[.2em] &\,\cong\, (\Bbb Z[x]/2)\,/\,(f,2)/2\\[.2em] &\,\cong\ \ \Bbb F_2[x]/f \\[.2em] &\,\cong \ \ \Bbb F_2[x]/(x\!+\!1)^2 \end{align}\qquad$$

Son bölüm oradan beri bir alan adı değil $\,x\!+\!1 \neq 0$ fakat $\,(x\!+\!1)^2 = 0.\,$Bu cebiri denir dual sayılar üzerinde$\Bbb F_2.\,$Dual sayılar, teğet ve jet uzaylarının cebirsel modelleri olarak kullanışlıdır .