$3^{123} \mod 100$

Sen gerçekten haklısın. Bununla birlikte, küçük bir gelişme var. Carmichael işlevini kullanarak, daha küçük bir gücün olduğunu iddia edebilirsiniz.$3$, yani $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. Carmichael işlevi , argüman çift olduğunda ve Euler totient'in bir katı olduğunda Euler totient işlevinin yarısını böler .$4$için doğru olan $\lambda(100)$; Böylece$3^{20}$ yerini alabilir $3^{40}$ tartışmada.

Daha temel bir düzeyde, $3^4=80+1$ ve her iki tarafı da beşinci güce yükseltir, böylece $3^{20}\equiv1\bmod 100$ Binom Teoremi olarak $(80+1)^5$ katlarını verir $100$ artı $1$.

Doğru, alternatif bir çözüm:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

Doğru! Mantığınızın doğru olduğuna inanıyorum. Görebildiğim kadarıyla bu, Euler'in Fermat Teoremini genellemesinin doğru bir uygulamasıdır.$\phi(100) = 40$ ve böylece $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Daha fazla ikna etmeye ihtiyacınız varsa, basitçe girin $3^{123}$ içine https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Yine, gerçekten gerekli değil, ama somut kanıta ihtiyacınız varsa, işte burada.

OP, bir model arayarak başladı ancak şunu belirtti:

... çok fazla zahmetli incelemeye rağmen, bariz kullanışlı bir model sağlamadı.

Desenin şeklini ve yapısını gerçekten tahmin etmek için biraz ışık teorisi kullanabilirsiniz.

Bunu gözlemleyin eğer $a \in \{0,2,4,6,8\}$ ve $b \in \{1,3,7,9\}$ ve

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

o zaman aslında $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ ve $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Bu bizim ana (teorik) modelimizdir ve

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

Birimler basamağının hareket edeceğini doğrulamak kolaydır

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

bu dört döngünün her birinin içinde.

Hesaba katıldığında $3$bir birimdir , bunlardan birinin$4$-döngüler sona erecek

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

ve kimliğe ulaşılıncaya kadar hiçbir tekrarın mümkün olmadığını.

Yana onlarca basamak kümesi üzerinden yapabilirsiniz sadece döngüsü$\{0,2,4,6,8\}$bunlardan en fazla beş tane var $4$- hesaplanması gereken döngüler.

Hesaplanıyor $2^{nd}$ $4$-döngü:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Hesaplanıyor $3^{rd}$ $4$-döngü:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Hesaplanıyor $4^{th}$ $4$-döngü:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Bu noktada gerçekten hesaplamak zorunda değiliz $5^{th}$ $4$-sonuncusu olması gerektiğini bildiğimiz için döngü yapın.

Şimdi şu gerçeği kullanabiliriz

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

ve OP'nin sorusu için kalan ayrıntıları hesaplayın.