3D laplacian operatörü

Question

Laplacian operatörü için 5 noktalı şablon sonlu farklarının eşdeğerini bulamadım.

Benim için 2 boyutta, sonlu farklar yöntemini kullanarak: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h boyut ızgarası / adımdır)

Ancak 3 boyutlu durum için tamamen simetrik olup olmadığından emin değilim. 3. boyuta atıfta bulunan terimleri ekleyebilir miyim?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

3D Laplacian için farklı doğruluk terimlerini bulabileceğim bir kaynak da yardımcı olacaktır.

Answer 1

Evet, bu sonlu fark doğrudur. Her koordinatta Laplace operatörü için her yönde sonlu bir fark kullanarak elde edebilirsiniz.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Alternatif olarak, şablonunuzdaki noktalardan geçen bir polinomu enterpolasyon yapabilir ve ardından onun Laplasiyenini hesaplayabilir ve $(x, y, z)$.