$A$ üstelsıfırsa $I+\lambda A$ herhangi biri için ters çevrilebilir $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Bu problemde yardıma ihtiyacı
Let$A$ böyle bir kare gerçek matristir $A^{n}=0$ bazı pozitif tamsayılar için $n .$Böyle bir matrise üstelsıfır denir. Bunu göster$A$ üstelsıfırsa $I+\lambda A$ herhangi biri için ters çevrilebilir $\lambda \in \mathbb{R}$

Bunun için biliyorum $\lambda = 1$ doğru
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Böylece kanıtlıyor $A+I$ herhangi bir üstelsıfır için ters çevrilebilir $A$.

Ama bunun herhangi biri için doğru olup olmadığını bilmiyorum $\lambda$.

Answer 1

Sahibiz $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

İpucu: Zaten bildiğiniz için $A$ üstelsıfırsa $I+A$ bir birimdir, bunu gözlemleyebilirsiniz $\lambda A$ üstelsıfırdır ve sonuçlanır.

Answer 3

Bunu aşağıdaki gibi çelişkilerle de gösterebilirsiniz:

İçin $\lambda = 0$ gösterecek hiçbir şey yok.

Öyleyse hadi $\lambda \neq 0$ ve varsayalım ki $I+\lambda A$ tersine çevrilemez. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Yani, $\mu\neq 0$ bir özdeğeri olurdu $A$. Dan beri$A$ üstelsıfırsa, sahip olurduk $\mu = 0$bu bir çelişkidir.

Answer 4

Varsayıyorum $A$ bitti $\mathbb{R}$ , üstelsıfır indeksi ile $k$

durumunda $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$ve ters çevrilebilir.
durumunda$\lambda \not= 0$: bu sonraki lemmayı kullanacağız

---

lemma: eğer$B$ gerçek üstelsıfır bir matristir, $B$sıfır olmayan gerçek özdeğerlere sahip değildir.
kanıt:

Farz edelim $B$ endeksin üstelsıfırdır $r$.
ayrıca gerçek bir özdeğerine sahip olduğunu varsayıyoruz -$\xi$

tanım gereği, sıfır olmayan bir vektör olduğu anlamına gelir $v$ öyle ki-

$Bv = \xi v$

yani, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
genel olarak, tümevarımla göstermek zor değildir
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

bununla şunları elde ederiz: $B ^r (v) = \xi ^r v$
Ayrıca $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

yani - $\xi ^r v = \underline0$.
fakat$v \not= \underline0$ yani almalıyız $\xi ^r = 0$ - bu genel olarak şu anlama gelir:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

---

Şimdi, bu uygulamak lemma üzerinde$A$ve onu al $A$sıfır olmayan öz değeri yoktur .

matrisi inceleyelim $I - \lambda A$ burada hatırlıyorum $\lambda \not= 0$.

Bu matris, ancak ve ancak sıfır olmayan bir determinanta sahipse tersine çevrilebilir.
Bunun determinantını hesaplayalım:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

bunun eşit olduğunu varsay $0$ ve Al:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

ve bu yüzden - $\lambda ^{-1}$ bir özdeğerdir $A$, sıfır olmayan. Çelişki.

bu nedenle $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ ve bu yüzden -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ ve matris ters çevrilebilir.