Arctan ile bir sınır

Question

Başka bir limit hesaplamam gerekiyor, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Nasıl başlayacağım ya da ne yapacağım hakkında hiçbir fikrim yok çünkü daha önce hiç sınırda bir arctan ile uğraşmadım.

Önce ne yapmalıyım?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, yani $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, gibi $\tan x$ ve $\arctan x$ birbirlerinin ters fonksiyonlarıdır $x \in [0, \pi/2)$.

Gerisi sadece doğrudan ikamedir. Almalısın:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Her şeyden önce: panik yapmayın! :-)

Arktanjant için güzel bir kimlik var: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Sınır olduğu için $x\to\infty$, varsaymak kısıtlayıcı değildir $x>0$, yani $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ ve ayar $y=1/x$, limit olur $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ bu belirsiz bir form değildir çünkü $1^0=1$.