artık sonlu yarı yönlü çarpım

Question

Sorun

İzin Vermek $G=N \rtimes_{\phi} Q$ nerede $N\lhd G$ sonlu oluşturulmuş ve artık sonlu ve $Q$artık sonlu. Olduğunu göstermektedir$G$ artık sonlu

Girişim

bunu biliyorum

• $N$ artık sonlu ve fg ima eder $N$ Hopfian

• $N$ artık sonlu ve fg ima eder $Aut(N)$ artık sonludur.

Eğer $1\not= nq \in G$ ile $q\not=1$ sonra $nq\mapsto qN \not=1$ projeksiyonun altında $G\to G/N\cong Q$ ve sonra $\exists K$ sonlu ve $t: Q\to K$ st $t(q)\not=1$.

Bu nedenle, davayla ilgilenmeye devam ediyor $1\not=nq\in G$ ve $q=1$ yani $qn=n\in N$. bunu biliyorum$\exists K$ sonlu ve $t:N\to K$ st $t(n)\not=1$ ama bu homomorfizmi hesaba katabilir miyim? $G$ herhangi bir şekilde?

Kanıtın Mal'cev'in "Sonlu gruplar üzerine homomorfizmalar üzerine (1958)" kitabında olduğunu biliyorum ama makaleyi bulamıyorum.

Answer 1

Dan beri $N$ sonlu olarak oluşturulur ve $K$ sonludur, yalnızca sonlu sayıda grup homomorfizması vardır $N \to K$.

Yani kavşak $L$ çekirdeklerinin sonlu indeksi var $N$ve karakteristiktir $N$ ve dolayısıyla normal $G$. Sonra$LQ$ içinde sonlu indeksi var $G$ ve içermez $N$.