Aşkın bir işlevi kanıtlayacak "basit" koşul

Question

MSE'de soruyu zaten sordum ama hala cevap yok, bu yüzden burada soracağım.

Her cebirsel fonksiyon için $f(x)$ bu ayırt edilebilir $\mathbb{R}$, onun $\lim_{x\to\infty}$ ya $\infty$, $-\infty$veya sonlu bir değer, yani:

Eğer $f(x)$ her yerde ayırt edilebilir $\mathbb{R}$ ve Onun $\lim_{x\to\infty}$ değil $\infty$, $-\infty$ne de sonlu bir değer, o zaman $f(x)$ aşkındır.

Bu doğruysa, nasıl ispatlanabilir?

Answer 1

$\newcommand\R{\mathbb R}$Senin varsayımın doğru. Aslında, bir işlevin$f\colon\R\to\R$ sürekli ve cebirseldir, dolayısıyla $$\sum_{j\in[n]_0}p_j(x)f(x)^j=0\tag{1}$$ hepsi için $x\in\R$, nerede $[n]_0:=\{0,\dots,n\}$, $n$ doğal bir sayıdır ve her biri için $j\in[n]_0$, $p_j$ bir dereceye kadar polinom bir fonksiyondur $m_j$, böylece biraz gerçek $a_j\ne0$ $$p_j(x)=(a_j+o(1))x^{m_j}\tag{2}$$ gibi $x\to\infty$.

Şimdi varsayalım ki biraz gerçek $c$ ve biraz dizi $(x_m)$ içinde $\R$ yakınsak $\infty$ sahibiz $f(x_m)\to c$. Sonra, (1) ve (2) ile,$$p(c):=\sum_{j\in J}a_j c^j=0,\tag{3}$$ nerede $J$ tümünün (boş olmayan) kümesidir $j\in[n]_0$ öyle ki herkes için $i\in[n]_0$ sahibiz $m_j\ge m_i$. Yani,$c$ polinomun sonlu kök kümesinde olmalıdır $p$.

Öte yandan, varsayımınız yanlış olsaydı, orta değer teoremine göre sonsuz (hatta sayılamayacak kadar) birçok gerçek $c$ öyle ki bir dizi için $(x_m)$ içinde $\R$ yakınsak $\infty$ sahibiz $f(x_m)\to c$.

Öyleyse, varsayımınız doğru.