"Asların sonuncusu"

Question

Tamamen karıştırılmış 52 kartlık bir desteniz var. Desteden bir kart seçtiğiniz her seferinde. Çekilen kart desteye geri konur ve 52 kartın tümü tekrar karıştırılır. Dört farklı asın hepsini görene kadar bu işleme devam edin. Dört farklı asın hepsini görene kadar bir kart çekmeniz gereken sayının beklenen değeri ve standart sapması nedir?

Açıkçası sorun şu ki, aynı ası defalarca çekebilirim, bu yüzden aralarında çektiğim kartları saymalıyım. $k-1$başarı ve $k$Başarı (yani, örneğin, üçüncü ve dördüncü as arasında, her biri diğerinden farklı çekilen kartlar). Ancak asların farklı olması gerektiği gerçeği, bir as çekildikten sonra bu asın desteye geri konması gerçeğiyle bağlantılı olarak, üçüncü ası çektiğimde "oyunun" sıfırdan başladığını gösterir, bu yüzden deneme sayısını hesaplamam gerekir. (çekilmiş kartlar) ilk başarıyı elde etmek için gereklidir (yani, dördüncü ve son ası henüz görülmemiş).

Öyleyse $X_i=[$önce çekilen kart sayısı $i$as$]$bizde var $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Sorunu çözmek için bunu nasıl kullanabilirim? Herhangi bir yardım için şimdiden teşekkürler.

Answer 1

İzin Vermek $X$ elde edilecek deneme sayısını gösteren rastgele değişkeni gösterir $4$aslar. Bölebiliriz$X$ içine $4$ ayrı rastgele değişkenler olarak adlandıracağımız $X_1$ (ilk ası çekmek için deneme sayısı), $X_2$ (birinciyi çektikten sonra ikinci ası çekmek için deneme sayısı), $X_3$ (ikinciyi çektikten sonra üçüncü ası çekmek için deneme sayısı) ve $X_4$(üçüncü olanı çektikten sonra dördüncü ası çekmek için deneme sayısı). Değişkenlerin olasılık dağılımı geometrik dağılımdır. Geometrik bir dağılım için elimizde$E[Y]=\frac1p$ ve $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

Bir denemede ilk asımızı çekme şansı $\frac4{52}=\frac1{13}$ yani $E[X_1]=13$ ve $\text{Var}(X_1)=156$. Bir denemede üçüncü asımızı çekme şansı$\frac3{52}$ yani $E[X_2]=\frac{52}3$ ve $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. Bir denemede üçüncü asımızı çekme şansı$\frac2{52}=\frac1{26}$ yani $E[X_3]=26$ ve $\text{Var}(X_3)=650$. Bir denemede üçüncü asımızı çekme şansı$\frac1{52}$ yani $E[X_3]=52$ ve $\text{Var}(X_4)=2652$.

Çünkü $X_1$, $X_2$, $X_3$ ve $X_4$ bağımsızdır, beklenen değeri ve varyansını elde etmek için doğrudan beklenen değerleri ve varyansları ekleyebiliriz $X$. Sahibiz

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

ve

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Standart sapmayı bulmak için varyansın karekökünü alırız, yani:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$