Basit Bir Setin Sonu

Question

Basit bir setin sonsuz olduğunu kanıtlamakta zorlanıyorum. $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ ilk yapacağım şey farketmek $n\geq 1$ bunu ima ederdi $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ ve böylece kişi bunu görebilir $0$ infimum olabilir, ancak burada Arşimet mülkünü nasıl doğru bir şekilde $0$ en büyük alt sınırı $S$.

Answer 1

Set $S$ sadece pozitif sayılardan oluşur, öyle ki hiçbir pozitif sayı bir $\inf$ (yani, herhangi bir pozitif $\varepsilon$ sayı bir unsuru var $S$ bu daha küçük $\varepsilon$). Herhangi birini bulması gerektiğini göstermek için$\varepsilon$ bu bir $n$ öyle var ki $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ son eşitsizlik işareti, tarafından bölünmesi nedeniyle tersine çevrildi $\ln(2/3)$, bu olumsuzdur.

Bu şu demektir $\inf$pozitif olmayan (negatif veya sıfır) olarak inf negatif olamaz çünkü herhangi bir negatif için alt sınır olarak daha büyük negatif vardır. Yani sıfır kalmaya devam ediyor