Basit Modül Yok Edici

Question

İzin Vermek $C$ sınırlı olmak $R$-algebra nerede $R$ünital değişmeli halkadır. İzin Vermek$S$ basit ol $C$-modül. Yok edenin$S$ içinde $R$ maksimal bir ideal.

Denediğim şey: Ne zaman $C=R$ o zaman bu, basitliğin doğrudan bir sonucudur $S$ olarak $R$-modül. Dahası, o zamandan beri$S$ o zaman basit $S$ döngüseldir (yani $S=Cy$ sıfır olmayan için $y\in S$). Haritayı düşünün$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Sonra $\ker(f)$ yok edicisi $S$ içinde $C$ ve $\ker(f) \cap R$ yok edicisi $S$ içinde $R$. Bunun bir ideal olduğunu gösterdim$R$ama maksimumluğu göstermeye devam edeceğime dair hiçbir fikrim yok. Bu doğru bir yön mü yoksa maksimalliği göstermek için düşünmem gereken başka bir şey var mı?

Answer 1

Bir fikrim var: Haritayı kısıtlarsak $f: C \to S$ açık $R$. O zaman arasında bir izomorfizm var$f(R)=Ry$ ve bölüm $R/(\ker(f) \cap R)$, nerede $\ker(f) \cap R$ yok edicisi $S$ içinde $R$.

Yani göstermek için $R/(\ker(f) \cap R)$ maksimaldir, bunu göstermek yeterlidir $Ry$ kadar basit $R$-modül. İzin Vermek$ry \in Ry$sıfır olmayan bir öğe olun. Sonra açıkça$Ry$ içerir $\langle ry \rangle$ gibi $R$-modüller. Tersine, çünkü$ry \in Ry \subset S$ sıfır olmayan $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Yani$Ry = \langle ry \rangle$ sıfır olmayan herhangi biri için $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ basit ve $R/(\ker(f) \cap R)$ maksimaldir.

Cevabımda belirsizlik varsa lütfen bana bildirin.