beklenen numune değeri

Question

Pdf içeren bir dağıtımımız olduğunu varsayalım. $f(x)= 4(3-x^3)$ için $0<x<2$, ve $0$başka yerde. Bulabiliyorum$E(X)$ ve $Var(X)$ beklenen değerin standart tanımını kullanarak (yani, $xf(x)$) ve varyans. Ancak, bize belli büyüklükte rastgele bir örnek verildiğini varsayalım.$15$, bu dağılımdan elde edilmiştir ve dolayısıyla bu örneğin kendisinin bir ortalaması olacaktır ve sorun örnek ortalamasının beklenen değerini bulmaktır. Başlangıçta örnek ortalamanın beklenen değeri ve varyansının sadece$E(X)$ ve $Var(X)$ sırasıyla, ancak örneklem ortalamasının ve varyansın örneklem büyüklüğünden etkilenip etkilenmeyeceğinden emin değilim.

Sorgum, örnek ortalamanın beklenen değerinin aynı olup olmadığıdır. $E(X)$ örneklem büyüklüğüne bakılmaksızın ve örneklem ortalamasının beklenen değerini belirleme yaklaşımının ne olduğu, örneklem büyüklüğünü dikkate alarak.

Teşekkür ederim.

Answer 1

Varsayalım ki $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ anlamı var $\mu$ ve bir varyans $\sigma^2$. $\text{Distribution}$ normal olmasına gerek yoktur (olsa da).

Tam türevleri verdim. Benim önerim, her seferinde bir satır aşağı kaydırmak ve bir sonraki satırımı tahmin etmeye çalışmak, böylece bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz.

ANLAMINA GELMEK

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

VARYANS

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

NOT : Bu, merkezi limit teoreminin bir kanıtı DEĞİLDİR.