Binom denklemini genelleştirin

Question

Acaba davayı geneller mi $p=2$ için sahibiz $1<p<\infty$ sabit olduğu $c(p,l)$ öyle ki herkes için $(z_j)$ ile $z_j \in \mathbb C$ o

$$\left\lvert \left\lvert \sum_{j=1}^l z_j \right\rvert^p - \sum_{j=1}^l \left\lvert z_j \right\rvert^p \right\rvert \le c(p,l) \sum_{j \neq k} \vert z_j \vert \vert z_k \vert^{p-1}$$

durumda $p=2$ Tuttuğunu açıkça görebiliyorum, ama burada bilmiyorum.

Answer 1

Varsayalım ki hepsi değil $z_i$sıfırdır. Genelliği kaybetmeden varsayalım ki$z_1$ en büyük mutlak değere sahiptir ve homojenlik açısından varsayalım ki $|z_1| = 1$. İzin Vermek$\delta = \sum_{j \geq 2} |z_j|$, yani $\delta \leq l-1$ve istenen eşitsizliğin sağ tarafının en azından $c(p, l)\delta|z_1|^{p-1} = c(p, l)\delta$.

LHS'den iki toplamın sınırlarını bulalım: $\delta$. İlk toplam için, üçgen eşitsizliğine göre her zaman sahip olduğumuz$0 \leq \left|\sum z_j\right|^p \leq (1 + \delta)^p$, ve ne zaman $\delta \leq 1$, sahibiz $(1 - \delta)^p \leq \left|\sum z_j\right|^p$yanı sıra. Şimdi, herhangi biri için$\delta$ sahibiz $$(1 + \delta)^p - 1 = \int_0^\delta p(1 + x)^{p-1} \,dx \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1},$$ ve ne zaman $\delta \leq 1$, $$1 - (1 - \delta)^p = \int_0^\delta p(1 - x)^{p-1} \,dx \leq \delta p \leq \delta p (1 + \delta)^{p-1}$$ aynı zamanda, dolayısıyla $|\left|\sum z_j\right|^p - 1| \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1}$ her durumda.

Diğer meblağ tatmin eder $1 \leq \sum |z_j|^p \leq \sum |z_j| \leq 1 + \delta$dolayısıyla $\left| \sum |z_j|^p - 1\right| \leq \delta$, bu nedenle, arzu ettiğimiz eşitsizliğin LHS'sinin $\delta p(1 + \delta)^{p-1} + \delta \leq pl^{p-1}\delta + \delta$. RHS'miz en azından$c(p, l)\delta$almak yeterli $c(p, l) = pl^{p-1} + 1$.

Bu seçim $c(p, l)$muhtemelen optimal olmaktan uzaktır. Hepsinin olduğu durumda$z_j = 1$bunu görüyoruz $c(p, l)$ en azından olmalı $\approx l^{p-2}$ve sanırım bu optimuma daha yakın.