Bir birleşimsel toplam

Question

• Toplamı değerlendirmek için herhangi bir fikir $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Toplamını buldum $k=2m-1$. Aslında doğrulandı$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ nerede $H_{j}$ ... $j$- harmonik numarası.

Answer 1

İşte maxima 'ın Zeilberger paketi (bir göz atmanız Petkovšek, Wilf, Zeilberger 'A = B' kanlı detayları için) toplamı Gosper toplanabilir olmadığını söylüyor. Bu, onun için basit bir kapalı form olmadığı anlamına gelir.

Answer 2

Kısa bir süre için sonucu hipergeometrik fonksiyonlar açısından ifade edebileceğimi umdum ama başarısız oldum.

İzin verirsek $k=m+n$sorun azalır $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ hangisi yazabilir $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ nerede $P_n$ bir derece polinomudur $2n$ (herhangi biri için faktörlendirilebilir görünmüyor $n$).

İlkler $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Katsayılar için herhangi bir model bulamadım [sabit terimin $(n!)^2$ ve katsayısı $m^{2n}$ dır-dir $1$ (!!)].

Gözlemlediğim tek şey, eğer $n$ eşittir, terim $m$ sistematik olarak eksik.

Herhangi bir kanıtı olmadan, bir genel için kapalı bir form olabileceğini düşünmüyorum. $n$.