Bir işlevi kanıtlamak $\pi$ itibaren $U(q) \to U(q')$ üzerine olmak

Aug 16 2020

Bu özel soru benim soyut cebir testimde sorulmuştu ve çözemedim.

İzin Vermek $q ,q' \in \mathbb{N} $ ve izin ver $q'\mid q$. İzin Vermek$U(m)$ kalıntı sınıflarının çarpımsal grubunu ifade eder. $m$. İzin Vermek$\pi: U(q) \to U(q')$ öyle ol ki eğer $a \in U(q)$, $\pi(a)$ benzersiz bir unsurdur $U(q')$ öyle ki $a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.

O zaman bunu göster $\pi$ üzerindedir.

Deneme - kafam karışmıştı. Tüm gösterebildiğim bu$a$ sıfır değildir $a$ ait olmak $U(q)$ ve $a \not \equiv 0 \pmod {q'}$ gibi $\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Ama açıkça kanıtlamak için yeterli değil.

Nazikçe, sadece bazı ipuçları verin. Dinlenin kendi başıma çalışmak isterim.

Yanıtlar

2 FabioLucchini Aug 15 2020 at 23:55

İpucu: Bırak $y\in\Bbb Z$ öyle ki $\gcd(y,q')=1$. Çin Kalan Teoremine göre var$k\in\Bbb Z$ öyle ki $y+kq'\equiv 1\pmod p$ her asal bölen için $p$ nın-nin $q$ bölünmeyen $q'$.


Ayrıntılı kanıt: Let$P$ baş bölenler kümesi olmak $q$ bölünmeyen $q'$. By Çin Kalan Teoremi vardır$k\in\Bbb Z$ öyle ki $$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$ her biri için $p\in P$. Her biri için$p\in P$, şuradan $p\nmid q'$ takip eder $q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$dolayısıyla $y+kq'\equiv 1\pmod p$.

Bunu not et $\gcd(y+kq',q)=1$. İzin için$p$ baş bölen olmak $\gcd(y+kq',q)$. Sonra$p|q$. Eğer$p|q'$, sonra $p|y$ çelişen $\gcd(y,q')=1$. Aksi takdirde, eğer$p\nmid q'$, sonra $p\in P$dolayısıyla $y+kq'\equiv 1\pmod p$ çelişen $p|(y+kq')$.

Eğer $\bar x$ kalıntı sınıfını gösterir $y+kq'$ modulo $q$ ve $\bar y$ kalıntı sınıfı $y$ modulo $q'$, sonra $\bar x\in U(q)$ ve $\bar y=\pi(\bar x)$.

1 ne3886 Sep 23 2020 at 17:20

Üç durumu ele alıyoruz:

  1. $𝑞′ = 𝑝^{\alpha},\, 𝑞=𝑝^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\,𝑝 \text{ prime}$

  2. $q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$

  3. $q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$

  • durum 1: Let $a\in\mathbb{Z}$: $$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$ sahibiz $\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$

  • durum 2: Çin kalan teoremine göre: \begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}

yani \begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*} her biri $\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$ örten $\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.

  • durum 3: Let $a\in\mathbb{Z}$ st $a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. Yani$gcd(a,q_1) = 1$ Denklem $$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$ çözümleri kabul ediyor: \begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*} nerede $n_0, m_0$ denklemin özel çözümüdür.

denkleme bir çözüm bulmak istiyoruz: $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$

ilk denklem eşdeğerdir $n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$ yani \begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$ yani haritalama \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}enjekte edicidir, bu yüzden örtendir; var$s_0\in\mathbb{Z}$ st $gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Koyduk$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$ Aynı argümanla, eşleme: \begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*} örten, dolayısıyla denklem $m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$ çözümleri kabul ediyor $m_0^{\prime}, t_0$. Sonunda koyduk$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, bu yüzden belirli bir çözüm bulduk $s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$ denkleme $$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ koyduk $b = a -s_0 q_1$; sahibiz$b\in U(q_1q_2)$ ve $\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; bu yüzden kanıtladık$\pi$ örten.

kavramsal olarak üç diyagramın değişmeli olduğunu kanıtladık

nerede $cr_{\star}$ çince kalan teoremi tarafından verilen izomorfizmlerdir, bu yüzden istenen homomorfizmin üstlenmesini diğerlerinin sürekliliğinden çıkarırız.