bir modülün boyutu ve basit modüller
Kafamı bu yeni kavramların etrafına sarmaya çalışıyorum. Bir senaryom olduğunu varsayalım.$V$ ücretsiz bir modüldür ve ayrıca $V$ V basitse, sonlu boyutlu bir modüldür $V$ boyut olmak $1$?
Def:
Böyle bir modülün herhangi bir alt modülü varsa, bir modülün basit olduğu söylenir. $\{0\}$ veya kendisi.
Benim düşüncem, eğer sahipsek $A$-modül $V$ bu da sonlu boyutlu olur ve sonra $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$skalerlerin gelmesiyle birlikte $A$, bu durumda, bu tür temel vektörlerin herhangi bir uygun alt kümesini alırsak, bunların aralıkları kesinlikle $V$? Bu nedenle$V$ basitse sadece $n=1$? (tabii ki sohbet doğru değil, eğer$n=1$ o zaman ille de basit olmayacak)
Tartışmamda yanlış bir şeyler varmış gibi hissediyorum, modüllerden bir şeyi Lineer Cebir ile karıştırmış olmalıyım.
Yanıtlar
Eğer $V$ basit, zorunluluk $𝑉$ boyut 1 mi?
Hayır! Bir cebirin bir modülünün bir alan üzerindeki sadeliği, boyutu hakkında pek bir şey söylemez.
Matris halkasını düşünün $R=M_2(F)$ tarla için $F$.
Sonra $F\times F$hak olarak görüldü $R$ modül, matris çarpımını kullanan basit bir modüldür. $2$ boyutlu $F$.
Aynı fikre sahip başka bir örnek: let $V$ sonsuz boyutlu bir vektör uzayı olmak ve $E$doğrusal dönüşümler halkası olabilir. Sonra$V$ aslında basit $E$ modül ve henüz $V$ sonsuza sahiptir $F$ boyut.
Bunların tümü, en yaygın olarak kullanıldığı şekilde "boyut" u kastettiğinizi varsayar: bir vektör uzayının değişmezi olarak. Aslında başka bir boyut türünü kastettiyseniz, belirtmeniz gerekir. Bahsettiğiniz birkaç tane var. Örneğin, boyuttan "kompozisyon uzunluğu" nu kastettiyseniz, evet , basit bir modülün kompozisyon uzunluğu vardır$1$.