Bir Seçenek Üzerine Seçenek
Sözleşmenin değeri nedir (şu anda ödenecek $t_0$) önceden belirlenmiş bir fiyattan bir Vanilya Çağrısı seçeneği (belirli bir ihtar K ile) satın alma hakkı verir (ancak zorunlu değildir) $p$ gelecek zamanda $t_e$? Fiyat,$p$ belirlendi $t_0$ ve ödendi $t_e$sahibi opsiyonu satın alma hakkını kullanırsa. Stokun sabit volatilite ile lognormal olduğunu varsayın.
Yanıtlar
İspat nispeten uzun, bu yüzden muhakeme ve önemli adımları göstermeye odaklanıyorum.
Black-Scholes modeli üzerinde çalışıyoruz. Genelliği kaybetmeden grevli bir seçeneğe odaklanıyoruz$P$ satın almak $t_e$ Avrupa çağrı opsiyonunun süresi doluyor $T$, hisse senedi üzerine yazılmış $S$. Risksiz önlemle ilgili beklentiler her zaman alınır$Q$ aksi belirtilmedikçe ve yazıyoruz $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
Değer $C_t$ Avrupa çağrı seçeneğinin% 50'si şuna eşittir: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
Değer $O_t$ Bir Avrupa arama seçeneği üzerinden bir seçenek şu şekilde verilir: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ son eşitsizliğin yinelenen beklentiler yasasından kaynaklandığı, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ bileşik grev ve $S^\star$ değeridir $s$ bu aşağıdaki denklemi çözer: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ nerede $c$ bir Avrupa arama seçeneği için indirilmemiş Black-Scholes fiyatı: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
Uygulamada miktar $S^\star$ sayısal denklem çözülerek hesaplanabilir $(2)$, örneğin Newton-Raphson tarafından. Şimdi, Denklemdeki üçüncü terim$(1)$ sadece bir log-normal değişkenin yukarıda olma olasılığı $S^\star$. Klasik Black-Scholes ile benzer şekilde, bu şuna eşittir:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
İkinci terimi hesaplamak için $(1)$, biz tanımlıyoruz $Z$ ve $Y$ Brown artışlarını temsil etmek için sıfır ortalama ve birim varyanslı iki bağımsız normal rastgele değişken olarak $t$ -e $t_e$ ve oradan $T$. Bunu not et:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ nerede $X$ aşağıdaki korelasyona sahip üçüncü bir standart normal değişkendir $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Dolayısıyla Denklemdeki ikinci terim $(1)$ kümülatif iki değişkenli normal olasılığın üzerinde $Z$ ve $X$ korelasyonları ile parametrelendirilmiş $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Denklemdeki ilk dönem için $(1)$, beklentinin ölçüsünü, numaranın hisse senedi olduğu stok ölçüsü olarak değiştiririz $S$yazacağımız $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Bu ölçü değişikliğinin ima ettiği Radon-Nikodym süreci: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Bu ölçü değişikliği için "Novikov süreci" bu nedenle $\theta_t:=-\sigma t$. Böylece, aşağıdaki süreç, stok ölçüsü altındaki Brownian Hareketidir:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Bu, hisse senedinin bu yeni önlem altındaki kaymasının şu kadar arttığını gösterir: $\sigma^2$. Denklemi kullanabiliriz$(4)$ ama bu sefer standart normal değişkenlerde $Z'$, $Y'$ ve $X'$ stok ölçüsü altında $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Yani: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Tanımlama: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Sonra Denklemleri birleştirmek $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ ve $(3.c)$, istenen sonucu elde ederiz: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Gördüğünüz gibi, bir çağrı seçeneği için Black-Scholes Denklemine çok benziyor:
- Değerleme formülünün üçüncü terimi $O_t$ Black-Scholes formülündeki ikinci terime, yani indirimli ihtara eşdeğerdir $P$ Opsiyon üzerindeki opsiyonun kullanılma olasılığının çarpımı;
- Birleştirilmiş ilk iki terim, bir çağrı seçeneğinin Black-Scholes değerine çok yakın görünüyor: bu beklenen bir durumdur, çünkü seçenek bir çağrı seçeneğine yazılmıştır. Ancak olasılıklar$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ ve $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ hisse senedi fiyatının değerini hesaplamak $t_e$ ve $T$. Bunun nedeni, bir vanilya arama seçeneğine girdiğinizde, işlem tarihindeki hisse senedi fiyatını bilmenizdir.$t$ ama süresi dolduğunda değil $T$. Bu durumda, seçeneği ileride gireceksiniz$t_e>t$bu nedenle başlangıçta ne de temelin değerini bilmiyorsunuz $t_e$ ne de süresi dolduğunda $T$: Bu artan belirsizlik, iki değişkenli normal dağılım tarafından yakalanmaktadır.
Sanırım bileşik bir opsiyondan bahsediyorsunuz . Black-Scholes varsayımları altındaki değerlemesi bağlantıda verilmiştir. Seçenek ilk olarak Geske (1978) tarafından türetilmiştir , orijinal makale için buraya bakınız .