Bir Spinorun Rotasyonu
Spinörleri vektörlere benzeyen belirli özelliklere sahip olan belirli matematiksel nesneler olarak sezgisel bir yaklaşımla ilgili bir sorum var, ancak diğer yandan spinörleri vektörlerden ayıran bir özellik var:
Wiki , bir spinorun oldukça geometrik bir tanımını verir :
"Vektörlerin ve tensörlerin aksine, bir spinör, uzay sürekli olarak tam bir dönüş ile döndürüldüğünde negatifine dönüşür. $0°$ -e $360°$ (resmi görmek)."
Diğer kaynaklar ayrıca, bir spinörü döndürürseniz $720°$aynı spinörü elde edersiniz. Açıkça, normal bir vektörü şu şekilde döndürürsek$360°$aynı vektörü elde ederiz. Öyleyse spinörler olağan anlamda vektör değildir.
SORU : Anlamadığım şey, tam olarak bir 'döndürücünün dönüşü' olan şeydir. Bu tür bir 'rotasyon' nasıl tanımlanabilir?
Sorunun kulağa sıradan geldiğini biliyorum, ancak genel olarak naif anlamda bir rotasyonun ne olduğunu hatırlarsak, çok somut bir çerçevede bir rotasyon düşünürüz: naif rotasyon, gruptaki bir öğenin işlemidir. $SO(3)$ gerçek uzayda $\mathbb{R}^3$. Spinors yaşamadığından beri$\mathbb{R}^3$ İplikçilerin yaşadığı uzayda bir 'dönüş'ün tam olarak ne olduğunu belirtmenin gerekli olduğunu düşünüyorum.
Olağan vektörlere benzetme yapalım & $3D$Uzay. Olağan bir rotasyon$3D$ dönme ekseni ile belirlenir $\vec{b}$ ve dönüş açısı $\phi$. Döndüğümüzü söyle$z$açıyla eksen $\phi$, sonra dönüşün kodu çözülür $3 \times 3$ matris $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
Eğer $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ sonra dönüşü $\vec{v}$ basitçe $R \vec{v}$.
Fakat somut olarak bir 'spinörün dönüşü' nedir? Nasıl tarif ediliyor?
Basitlik uğruna, parçacık fiziğinin en yaygın spinör temsiline odaklanalım: Alt grup $SU(2) \subset SL(2, \mathbb{C})$ basit bir bağlantı sağlar $2$ -e $1$ kapsayan harita $f:SU(2) \to SO(3)$rotasyon grubu. Açıkça$SU(2)$ alt grubu olarak hareket eder $SL(2, \mathbb{C})$ karmaşık vektör uzayında $\mathbb{C}^2$. Bu ayardan beri$SU(2)$ belirli vektörler diyebileceğimiz bir spinör gösterimi sağlar $\mathbb{C}^2$ "spinors", değil mi?
Ama burada spinörlerin dönüşü nedir? Keyfi bir spinor aldığımızı söyle$s \in \mathbb{C}^2$ ve belirli bir eksen etrafında belirli sabit bir dereceye kadar bir 'dönüş' gerçekleştirmek istiyor $\phi$. İçinde hangi nesne$SU(2)$ bunu "rotasyon" olarak adlandırılır ve neden spinörlerde bu tür bir işleme "rotasyon" denir?
Yanıtlar
Bir spinörün dönüşü $\psi$ (karmaşık bir 2-vektör gibi görünür) bir açıyla $\phi$ birim ekseni etrafında $\hat n$ ama $$ \psi \mapsto e^{i {\phi\over 2} \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi= \left (I\cos {\phi\over 2} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi , $$ nerede $\vec \sigma$ Üç Pauli matrisi, ikili gösterimdeki dönüşlerin iki katıdır.
Bir 2π dönüşünün işaretini ters çevirmek anlamına geldiğini ve bunun iki katının kimliğe karşılık geldiğini görebilirsiniz.
Pauli ve Dirac matrisleri, sırasıyla 3 boyutlu Öklid uzayının ve 3 + 1d Minkowski uzayının Clifford cebirlerinin temel vektörleridir . Spinörleri anlamak istiyorsanız, muhtemelen Clifford cebirlerini anlamanız gerekecektir.
Clifford cebirlerinde, orijinden geçen yansımalar birim vektörlerle temsil edilir (bunları aynaların yüzey normalleri olarak düşünün). Cebirsel çarpım yansımalar oluşturur. Vektörler, tıpkı temel vektör uzayında olduğu gibi, temel vektörlerin ağırlıklı toplamları olarak yazılabilir. Pauli / Dirac matris gösteriminde Pauli / Dirac matrisleri temel vektörlerdir ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$.
Herhangi bir döndürme, çift sayıda yansımanın ürünü olarak yazılabilir. 3B Öklid uzayında, çift sayıda birim vektörün Clifford ürünleri, birim kuaterniyonlara izomorfik olan cebirin bir alt uzayında yaşar. 3 + 1d Minkowski uzayında, alt uzay birim biquaternionlara izomorfiktir .
Bir aynadaki bir vektörü yansıtmak için, onu her iki tarafta yüzey normalinin Clifford temsiliyle (ve muhtemelen bir çarpan) çarparsınız. $-1$). Kendinizi cebirin yansıma yorumundan bunun mantıklı olduğuna ikna edebilirsiniz. Bir vektörü döndürmek için, onu uygun çift çarpımla birleştirirsiniz, tersi aynı çarpım ters sırada olur.
Spinors, aynı yansıma / döndürme temsilleriyle çarparak dönüşürler, ancak her ikisinde değil, yalnızca bir tarafta.
Spinörlerin genel geometrik anlayışının açık bir problem olduğunu düşünüyorum. Bununla birlikte, en azından düşük boyutlarda (muhtemelen 3 + 1 dahil), bir spinorun Clifford temsilini, "kanonik spinor oryantasyonundan" gerçek oryantasyona doğru bir rotasyon olarak düşünmek mümkündür. Dolayısıyla bir spinörü döndürmek, temsilini başka bir rotasyonla oluşturmak anlamına gelir.
Orijinal oryantasyona geri dönmek için 720 ° 'lik bir dönüş yapmanın temel nedeni, iki aynadan bir açı ile yansımadır. $θ$ ayrı bir nesneyi şu şekilde döndürür: $2θ$. Bir aynayı 180 ° döndürdüğünüzde, aynanın düzlemi orijinal konumuna geri döner, ancak yüzey normal ters yönü gösterir ve dönüşün vektörlerin bir ürünü olarak temsili bu nedenle bir çarpan aldı$-1$.
Önsezi sorduğunuz için cevabım bu yönde olacak. Zihinsel olarak rotasyonları vektörlerle ilişkilendirmemelisiniz$\mathbb{R}^3$. Bunun yerine, onları grupla ilişkilendirmelisiniz.$SO(3)$. Dahası, düşünmelisiniz$SO(3)$ soyut bir grup olarak, bir dizi olarak değil $3\times 3$matrisler. 3x3 matris kümesi, grubun 3 boyutlu gerçek uzaydaki temsilidir. Bu, uzaydaki yönlerin 3 gerçek serbestlik derecesine sahip olduğu klasik fizikte yararlıdır.
Ama görünüşe göre bu dünyada, klasik dünyada alışık olmayabileceğiniz, ancak yine de çok fiziksel olan özgürlük derecelerine sahip şeyler var; bir elektronun spin serbestlik derecesi gibi. Bunlar bir spinor tarafından tanımlanmaktadır (bir element$\mathbb{C}^2$) ve içindeki bir vektör değil $\mathbb{R}^3$.
Şimdi fizikte doğrusallaştırmayı ve özel açılımları seviyoruz; size doğrusal şeyler verirler ve bunlarla çalışmak kolaydır. Bu nedenle, çeviriler ve döndürmeler hakkında konuşmak yerine, bir genişlemedeki ilk türevlerini düşünmeyi seviyoruz; yani doğrusal hızlar ve açısal hızlar (momenta ve açısal momentuma orantılıdır). Açısal hızları (sözde) vektörler olarak tanıyabilirsiniz$\omega_i$, ancak aslında eşdeğerdir ve bazen açısal hızları 3x3 antisimetrik matrisler olarak ifade etmek daha uygundur $W_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$. Böylesi bir antisimetrik matrisi üslediğin zaman ne olacağını biliyor olabilirsin:$SO(3)$sonlu bir dönüş oluşturan matris. Daha doğrusu klasik mekanikte (poisson parantezi ve$L_z$ z yönündeki açısal momentum): $R_\phi = e^{\{\phi L_z, \cdot\}}$
Kuantum Mekaniğinde, döndürme serbestlik dereceleri için, z yönündeki açısal momentum operatörünün $\mathbf{\frac{1}{2}}\sigma_z$. Yarısına dikkat edin. Açıya göre 2x2 karmaşık dönüş matrisi$\phi$ z ekseni etrafında sadece $R_\phi = e^{i\phi\frac{1}{2}\sigma_z}$. Bu yarı, sonuçta yarım açı argümanında yarıya götüren şeydir ve$720^\circ$hile. Fiziksel olarak, bunlara olan şey bu$\mathbb{C}^2$ dönme altında serbestlik derecesi.
Şahsen ben bunu pek şaşırtıcı bulmuyorum. Bir elektronun spininin serbestlik derecesi, rotasyonlar altında bir şekilde dönüşür. Bir vektör olarak temsil edilen üç serbestlik dereceli açısal hız, yansımalar altında komik bir şekilde dönüşür, ancak bunun derin bir yanı yoktur. Örneğin bir nesnenin kütlesi veya sıcaklığı, şaşırtıcı değil, dönüşler sırasında hiç dönüşmez. Elektron spin serbestlik dereceleri, dönüşler altında komik bir şekilde dönüşür, o zaman bu neden şaşırtıcı olsun?