Böyle bir set ailesi var mı?

Question

İşte küme teorisi üzerine bir soru:

Bir aile var mı $S$ kapalı disk sayısı $\mathbb{R^2}$ bu disklerin her birinin en fazla bir ortak noktası olacak şekilde pozitif yarıçaplara sahip ve $\mathbb{R^2}- {\cup D}$ sayılabilir.

Bu soruya nasıl yaklaşacağım konusunda hiçbir fikrim yok.

Lütfen buna nasıl başlayacağıma dair bir ipucu söyle

Answer 1

Bu iyi bilinen bir teorem (inanıyorum ki Sierpiński'nin) gerçek çizginin sayısız kapalı kümeye önemsiz olmayan bir bölünmeyi kabul etmemesidir; bu soruya cevabımı görün .

Şimdi, bir çelişki için düzlemin, ayrık iç kısımlara sahip (pozitif yarıçaplı) kapalı disklerin (zorunlu olarak sayılabilir) bir koleksiyonunun artı sayılabilecek birçok tek noktadan oluştuğunu varsayalım.

İzin Vermek $L$düzlemde, bu kapalı disklerden ikisinin temas ettiği sayısız noktanın hiçbirinden geçmeyen bir çizgi olabilir. Verilen disklerin her birinin kesişme noktası$L$kapalı bir aralık veya tek bir noktadır. Böylece$L$ yukarıda bahsedilen teoremle çelişen, kapalı aralıkların ve tekillerin sayılabilir ayrık koleksiyonunun birleşimidir.

Açıklama. Eğer$S$ içinde ayrık iç kısımlara sahip pozitif yarıçaplı kapalı diskler ailesidir. $\mathbb R^2$, sonra $\mathbb R^2\setminus\bigcup S$ sayılamaz $G_\delta$ ayarlayın, böylece kardinalitesi vardır $2^{\aleph_0}$.