Boyut ve patlamalar

Question

Yansıtmalı bir çeşitlilik düşünün $X$ve izin ver $Y$kapalı bir alt çeşitlilik. Patlamasını düşünün$X$ Y boyunca: yeni bir çeşit elde ediyoruz $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$çift ​​uluslu bir harita ile birlikte $$b:\tilde{X}\to X$$ istisnai lokus dışında bir izomorfizm olan $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Soru: Doğru mu $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Benim fikrim: Patlama çift uluslu bir harita, dolayısıyla açık (yoğun) bir alt kümede bir izomorfizm; Bir çeşidin boyutu, açık küme üzerinde de aynı olan fonksiyon alanının gerçekleşme derecesi olarak tanımlandığından, o zaman sonuca varabiliriz.

Benim fikrim doğru mu? Bunu soruyorum, bir noktayı havaya uçurma vakası için buna ikna olmuşken, genel bir alt değişkenlik durumu için emin değilim, sezgisel olarak bana oldukça fazla ekliyorum büyük alan (Biliyorum, çok zor değil ama bu konuyu incelemeye yeni başladım).

Answer 1

Akılda tutulması gereken birkaç şey var. Birincisi, patlama yapısının içinde yaşamasını istediğini düşünüyorum$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; en azından bu ne zaman işe yarar$Y$ tam bir kavşaktır.

Genel olarak, söylediğiniz gibi, istisnai konum, normal paketin yansıtılması olarak ortaya çıkar. $\mathcal N_{Y|X}$. Ayarlamak$\dim X = n$ ve $\dim Y = m$. Normal paketin sıralaması her zaman$Y\subset X$dolayısıyla $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ göreceli boyutu var $n - m - 1$ (bunun, liflerin boyutu olduğu anlamına gelir $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, projektif demetin yapı haritası). Şimdi buna boyutu ekliyoruz$Y$, projektif paketin boyutunu bir çeşit olarak, yani $(n-m-1) + m = n-1$, aynı boyuta sahip olduğunu gösteren $1$ içinde $X$. Bu nedenle, bir patlamanın istisnai yerine tipik olarak istisnai bölen olarak atıfta bulunulur .