Brachistochrone probleminde bir incelik

Question

Aşağıda, ilk kez yüksekokulda karşılaştığım ve CM öğretiminde bazen hw problemi olarak kullandığım brachistochrone probleminin belirli bir örneği verilmiştir.

Bir parçacık başlangıçta hareketsiz haldeyken başlar ve bir yol boyunca yerçekimi altına düşmesi sınırlandırılır. $y(x)$ noktadan geçen $x=5$, $y=-1$(keyfi birimlerde, örneğin metre). Yerçekimi potansiyelinin doğrusal olduğunu varsayacağız,$V=mgz$.

a) Geçen zamanı en aza indiren yolu belirleyin. Bu yolun bir planını yapın.

b) Zamanı durağanlaştıran başka bir yol var mı? Cevabınız evet ise, bu yolun bir grafiğini çizin ve bu yolun minimum, maksimum veya eyer noktası olup olmadığını açıklayın.

Brakistokron probleminin çözümü elbette çok iyi bilinmektedir, bu nedenle bu görev gerçekten sınır koşullarını karşılayan belirli bir sikloid bulmakla ilgilidir. Bölüm b'nin gösterdiği gibi, birden fazla vardır: Standart sikloid ve `` sıçrayan '' iki sikloid.

Şimdi basit sikloidin mutlak minimum olduğu açıktır, çünkü geçiş süresi, izlenen açı ile orantılıdır. Peki ya diğer ikisi? Saf bir şekilde eyer olmalılar, ancak işlevsel eylemin ikinci varyasyonu açıkça olumludur ve yerel minimum olduklarını gösterir. Ancak, yol uzayının topolojisi hakkında komik bir şey olmadıkça bu doğru olamaz. Yüksek sikloidler eyer noktaları mı yoksa minimumlar mı?

Not: Daha yüksek sikloidlerin çözüm olarak kolayca göz ardı edilemeyeceğini görmek için hız bileşenlerinin bu grafiğini düşünün $(v_x,v_y)$ ikinci sikloid için zamanın bir fonksiyonu olarak.

İvmenin karşılık gelen bileşenleri şunlardır:

Açıkça, ivme (ve kısıtlama kuvvetleri) mükemmel derecede pürüzsüzdür.

Answer 1

TL; DR: 1'den fazla A yolu inşa parçalı cycloid (muhtemelen farklı enerji ile her$E$, aşağıya bakınız) ve sivri uçlu $x$-axis, durağan değil.

Kabataslak kanıt:

1. Hatırlayın eylemdir (harcanan = süresi) brachistochrone sorun olduğunu$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ sınır koşulları ile $y(0)=0$ ve $y(a)=b$. (İşte$y$-axis aşağıya doğru işaret ediyor ve basitlik için zaman ve uzay birimlerini seçtik öyle ki $2g=1$.)

2. Fiziksel olarak, yolun $x\mapsto y(x)$en azından süreklidir. Matematiksel olarak, integrand sadece Lebesgue integrallenebilir olmalıdır. Olabildiğince basit olmak ama aynı zamanda OP'nin örneklerini de dahil etmek için uygun bir uzlaşmaya varacağız ve yolun$x\mapsto y(x)$bir parçalı türevsel sağlayacak olmasına rağmen, sürekli türevlenebilir$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ integrand Lebesgue integrallenebilir kaldığı sürece parçalar arasındaki noktalarda tekil olmak.

3. Buradan, sabit bir yolun zorunlu olarak her bir parçanın iç kısmındaki Euler-Lagrange (EL) denklemini sağladığını izler . Parçalar arasındaki noktalarda ek koşullar ortaya çıkabilir.

4. Lagrangian'dan beri $L$ açık değil $x$- bağımlılık, karşılık gelen enerji kavramı (bir parça içinde) korunur: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. Parça çözüm bir sikloiddir: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$yaklaşımın doruğa yakın geçerli olduğu yerde. Zirve denklemi olur$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Zirve yakınlarında, parçacık zamanın bir fonksiyonu olarak pürüzsüz olan serbest bir düşme hareketi gerçekleştiriyor. $t$.

6. Şimdi fikir, doruk noktasını yatay bir seviyede kesmek $y=\epsilon\ll 1$yani bazılarında $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Basit olması için doruğun sadece sağ dalını ele alıyoruz - sol dal da benzerdir.)$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Karşılaştırma için, yatay yolun eylemi beklendiği gibi daha hızlıdır: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Bu, eylemi ilk sırada değiştirebileceğimizi gösterir. $\epsilon$ve dolayısıyla yol sabit değildir. $\Box$