Bu operatörler nasıl çözülür?
Nasıl çözerim $\beta_k$ içinde: $e^{\alpha_1 G_1 + \alpha_2 G_2 +\alpha_3 G_3 } =e^{\beta_1 G_1} e^{\beta_2 G_2} e^{\beta_3 G_3} e^{\beta_4 G_4}$? Not yok$\alpha_4$ terim.
( Ayrıca, bu problem için çözümler var mı? Lie gruplarından operatör üstellerinin Çözülmesi ve yeniden sıralanmasında MoisheKohan'ın cevabına atıfta bulunarak )
Buraya $G_k$ form $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})=\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathbb{C}$ Yalan cebiri:
$[G_1,G_2]=0,\\ [G_1,G_3]=[G_3,G_2]=G_4,\\ [G_1,G_4]= [G_4,G_2]=G_3,\\ [G_3,G_4]=-2G_1+2G_2$
Bunlar şu temsillere sahiptir: \ begin {equation}\begin{aligned} G_1 &= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\ G_2 &= \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\\ G_3 &= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\ G_4 &= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {equation}
Bu gösterimleri kullanarak bir matris denklemi elde ederim: \ begin {equation}\begin{aligned} \begin{pmatrix}e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)+\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]&\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\\\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}&e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)-\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]\end{pmatrix} &= LHS \end{aligned}\ end {equation}
ve \ {denklem} başla\begin{aligned} RHS &= \begin{pmatrix}e^{\beta_1}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3-\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_1}\left(\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)\\e^{\beta_2}\left(-\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_2}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3+\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {equation}
Yanıtlar
Bunu yalnızca itip savurma yorumlarından kaçınmak ve size standart yöntemi hatırlatmak için yazıyorum. Pauli matrisleri ile spin 1/2 fiziğinde ele almış olabileceğiniz standart matkap aşağıdaki gibidir.
Önce sizi tamamen bunaltmış gibi görünen formüllerinizi ve parametrelerinizi temizleyin .$$ G_3=\sigma_1; ~~G_4=i\sigma_2; ~~2G_1=\sigma_3+ I; ~~2G_2=I-\sigma_3; $$ Öyle açıktır ki, $G_1+G_2$ Lie cebirinizin, 2x2 özdeşlik matrisinin ve problemin dışındaki faktörlerin merkezinde yer alır: aşırı önyargıyla ortadan kaldırılmalıdır.
Kalan üç Lie Cebiri öğesi izsizdir ve bu nedenle grup öğeleri $sl(2)$şimdi izsiz bir 2x2 matrisin üstelini eşleştirin. Yani,$$ e^{(\alpha_1 + \alpha_2)/2} e^{(\alpha_1-\alpha_2) \sigma_3/2 + \alpha_3 \sigma_1 } =e^{(\beta_1 +\beta_2)/2} e^{(\beta_1 -\beta_2)\sigma_3/2} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$ Yani bunu takdir ettikten sonra $\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2$, bir α ve bir red gereksizdir ve elimine edilebilir. Çözmek için yarım farklar için hazırlanmış değişkenler ekleyerek bunu yapın$$ e^{\alpha' \sigma_3 + \alpha_3 \sigma_1 } = e^{\beta' \sigma_3} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$Şimdi, sağlanan WP bağlantısında eklenen Pauli vektörünün temel genişlemesi göz önüne alındığında, RHS üzerinde çarpımı gerçekleştirin ve bunu LHS'nin genişlemesine eşitleyin. 3 kalan bir kombinasyonu β s sıfır kısıtlı olacaktır: katsayısı Özellikle$\sigma_2$, LHS'de bulunmayan RHS'de - nedenini anlıyor musunuz? Yani iki α s için çözülecek sadece iki β s vardır.
Senin yerinde olsam, kalan iki α s'mın saf hayali olduğunu düşünürdüm , bu yüzden LHS, su (2) ' nin bir grup öğesidir ; ve$\beta_4$ gerçek $\beta_3$ ve $\beta'$saf hayali, bu yüzden sadece sağda su (2) 'nin üç elementini , üç üniter 2x2 matrisi, LHS üzerindeki sınırlı bir üniter matrise oluşturursunuz.
Ayrıntılara girmeden yorumlarıma göre cevabı kaydetmeme izin verin:
Karmaşık sayılar üzerinde, bu problemin genel değerleri için bir çözümü yoktur. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
"Jenerik" değerleri için $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$problemin bir çözümü var ve prensipte bir çözüm bulmak için bir algoritma bile var. Burada "genel" şu anlama gelir: Karmaşık-analitik bir alt çeşitlilik vardır$A\subset {\mathbb C}^3$ (boş olmayan tamamlayıcı ile) böyle uzun $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\notin A$bir çözüm var. Daha da fazlası: Bir polinom denklem sistemi var$P(M)=0$ (karmaşık katsayılarla) karmaşık $2\times 2$ matrisler $M$ öyle ki eğer $M$ tatmin eder $P(M)\ne 0$o zaman bulabilirsin $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb C}$ öyle ki $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ Yine, prensipte biri denklemi yazabilir $P$ açıkça, ama bunu yapmayacağım (sorma bile).
Gerçek katsayıları düşünürseniz cevap oldukça farklıdır:
Her ters çevrilebilir 2'ye 2 gerçek matris için $M$ gerçek sayılar var $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ öyle ki $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$
İspatın anahtarı, doğrusal-kesirli dönüşümleri dikkate almaktır. $$ \gamma: z\mapsto \frac{az+b}{cd +d}, z\in {\mathbb C} $$ matrislere karşılık gelir (gerçek katsayılarla) $$ \left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}\right] $$ doyurucu $ad-bc=1$. Haritalar$\gamma$ karmaşık üst yarı düzlemi gönder $U=\{z: Im(z)>0\}$ kendi içinde ve hiperbolik metriği korumak $U$. Doğrusal kesirli dönüşümler$\gamma_1, \gamma_3$ matrislere karşılık gelen $\exp(\beta_1 G_1), \exp(\beta_3 G_3)$olan hiperbolik iken$\gamma_4$ matrise karşılık gelen $\exp(\beta_4 G_4)$olduğu eliptik . Her hiperbolik doğrusal kesirli dönüşüm$\gamma$ nın-nin $U$hiperbolik jeodeziği korur $L_\gamma\subset U$ ve etki eder $L_\gamma$içsel bir çeviri olarak. Bu jeodezik ekseni olarak adlandırılır$\gamma$. Buna karşılık, eliptik bir doğrusal-kesirli dönüşümün benzersiz bir sabit noktası vardır.$U$. (Dönüşüm$\gamma_4$ noktayı düzeltecek $i\in U$.)
Bu ekibin tartışıldığı birçok yer var, örneğin
Anderson, James W. , Hiperbolik geometri, Springer Lisans Matematik Serisi. Londra: Springer (ISBN 1-85233-934-9 / pbk). xi, 276 s. (2005). ZBL1077.51008 .
Şimdi, anahtar özellik $\gamma_1, \gamma_3$ tatmin etmek, eksenlerinin kesişmesidir $U$. Bunu kullanmak, herhangi bir nokta çifti için bunu doğrular.$z, w\in U$ (gerçek) parametreler var $\beta_1, \beta_3$ öyle ki $$ \gamma_1 \gamma_3(z)=w. $$ (Aksine, eksenler kesişmezse bu varlık özelliği başarısız olur.) $\gamma_1, \gamma_3$ çoğunlukla kesişme noktasını hesaplamakla ilgilidir (içinde $U$) karmaşık düzlemdeki iki daire arasında, böylece yapıcı bir şekilde yapılabilir. Bu daireler (daha doğrusu, dairelerin kesişimleri ile$U$) doğrusal kesirli dönüşümlerin 1 parametreli gruplarının belirli yörüngeleridir .$\gamma_1, \gamma_3$.
Bunu kullanarak, her bir doğrusal-kesirli dönüşüm için $\gamma$(gerçek) parametreler var $\beta_1, \beta_3, \beta_4$ öyle ki $$ \gamma= \gamma_1 \gamma_3 \gamma_4. $$ Yani, düşünün $w=\gamma(i)$ ve bul $\gamma_1, \gamma_3$ öyle ki $$ \gamma_1 \gamma_3(i)=w. $$ Sonra $\gamma_3^{-1}\gamma_1^{-1}\gamma$ düzeltecek $i$ ve dolayısıyla eşit olacak $\gamma_4$ bir değer için $\beta_4$.
Buradan, her gerçek matris için şu sonuca varılır: $M\in GL(2, {\mathbb R})$ gerçek parametreler var $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ öyle ki $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ Bu argümandaki adımların her biri zor değil ama bir kanıt gerektiriyor ve bir tane yazmaya çalışmayacağım.