Cantors Teorem Kanıtı

Question

Herhangi bir A kümesi verildiğinde, kantorlar teoremi için kendi ispatım üzerinde çalışıyorum, üzerinde olan bir f: A -> P (A) fonksiyonu yok. A kümesinin öğelerinin n ve P (A) 2 ^ n, yani n <2 ^ Tüm doğal sayılar için (tümevarım yoluyla). ve kardinalitenin daha az olması nedeniyle, ortak alanın tüm öğeleri alan tarafından eşlenmediğinden, üstlenici değil midir?

Answer 1

Bu argümanı sonsuz kümelere genişletmeye çalışırsanız, şu şekilde olur:

• İzin Vermek $\alpha$ asli olmak $A$.
• O zaman kardinalliği $\mathcal P(A)$ dır-dir $2^\alpha$, esasen gösterimin tanımına göre $2^\alpha$.
• O zaman şu gerçeği kullanmak istiyoruz $\alpha < 2^\alpha$ ...

... ancak iddianın tanımı (veya eşdeğer bir tanımı) "$\alpha < 2^\alpha$"kesinlikle haritadan hiçbir şeyin $A$ -e $\mathcal P(A)$.

Gerçeğin analiz tabanlı veya kombinatoryal kanıtlarının olduğu sonlu kardinallerin aksine $n<2^n$, iddianın kanıtına sahip değiliz $\alpha < 2^\alpha$ sonsuz kardinaller için $\alpha$ bu, orijinal ifadeyi kanıtlamaktan daha basit.