Çeviri operatörü ve eşlik operatörü

Question

(Bu, Kuantum Mekaniğine Giriş'ten D. Griffiths, 3. baskı, Problem 6.18'den alınmıştır .)

Bir sistem ters simetriye sahipse, bunu biliyoruz [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ nerede $\hat{\Pi}$ eşlik operatörüdür.

Bu, eşlik operatörünün özdurumlarının özdurumları olduğu anlamına gelir. $\hat{H}$. Yani:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(px/\hbar)$

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(px/\hbar)$

Bunu yaparak kolayca görülebilir $\hat{\Pi} f(x) =f(x) $ ve $\hat{\Pi} g(x) = -g(x) $.

Sorun, çeviri operatörünün bu iki durumu birbirine karıştırdığını, yani dejenere olmaları gerektiğini söylüyor.

Soru

Çeviri operatörünün bu iki durumu (f ve g) karıştırdığını, yani dejenere olmaları gerektiğini gösterin.

Ben de öyle yaptım:

Çeviri operatörü: $\hat{T}u(x) = u(x-a)$
$$\hat{T}f(x)= \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(pa/\hbar)\cos(px/\hbar) - \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(pa/\hbar)\sin(px/\hbar) \\ = \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x). $$

Eyaletlerin karışık olduğunu görebiliyorum. Ama aynı enerjiye sahip değil$f(x)$ ve $g(x)$. Eğer yaparsam$\hat{H}\hat{T}f(x) = E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )$

Özdeğer $E_n$bir sabit ile çarpılır. Bunu söylersem bunun tek yolu doğru$E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) ) = E_n w(x) $.

Şu basit gerçeği kullanarak onların dejenere olduklarını gösteremez miyim? $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ ve $\hat{H} g(x) = E_n g(x) $, Çünkü [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Answer 1

Şu basit gerçeği kullanarak onların dejenere olduklarını gösteremez miyim? $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ ve $\hat{H} g(x) = E_n f(x) $, Çünkü [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Bu nereden geldi? $\hat{\Pi}$f ile g'yi karıştırmaz ; aslında, onları gözle görülür şekilde ayrı ve ayrı tutar.

Sorun sizden ayrı düşünmenizi istiyor $E_f$ ve $E_g$sırasıyla f ve g için ve kullanın$$ \hat{H}(\hat{T}f(x)) = \hat{T} \hat{H} f(x) = E_f (\hat{T} f(x) ), $$ açıkça okur $$ \hat{H}( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )=E_f( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )~~~\leadsto \\ - \sin(pa/\hbar)\hat{H}g(x)= - \sin(pa/\hbar) E_f~g(x),~~~~ \leadsto ~~~~E_f=E_g. $$

Answer 2

Soruyu anlamıyorum ama aldığım şeyden şunu al.

$P$ eşlik operatörü $T$ çeviri operatörüdür ve izin ver $$[T,H]=[P,H]=0$$ ayrıca izin ver

Böylece sahibiz $$T|\alpha\rangle=|\beta\rangle$$ $$P|\alpha\rangle=|\gamma\rangle$$ ayrıca bu üçünün hepsi aynı enerjiye sahip $T$ ve $P$Hamiltonian ile gidiyor. şimdi sahibiz$$[T,P]=C$$ c önemli olmayan bir operatördür

şimdi $$\langle\alpha| TP|\alpha\rangle\neq\langle\alpha| PT|\alpha\rangle=\langle\alpha| TP|\alpha\rangle+\langle\alpha| C|\alpha\rangle\neq1$$ Böylece $\gamma$ $\beta$haller aynı enerjiye sahip farklı hallerdir, dolayısıyla burada sizin dejenereliğiniz. buradaki fikir, Hamiltonian'ın aynı enerjiye sahip farklı öz durumlara sahip olduğunu göstermektir . ve çeviri ile parti bunu zorlar.