Chebyshev eşitsizliğini kullanarak $P(X \geq 2\lambda) \leq \frac{1}{\lambda}$

Question

İzin Vermek $X \sim \mathsf{Poisson}(\lambda),$ göstermek $P(X \ge 2\lambda) \le \frac{1}{\lambda}$.

Bunu tam olarak anlamıyorum, Chebyshev'in eşitsizliğinin mutlak değeri var, yaptığım şey şununla başlamaktı:

$P(|X - \lambda| \geq 2\lambda) \leq \frac{ \lambda}{ 4\lambda^{2}}$ama buradan nereye gideceğimden emin değilim. İçini genişletmem ve mutlak değer işaretini kaldırmam gerekir mi?

Answer 1

İpucu: $$P(X \ge 2\lambda) = P(X - \lambda \ge \lambda) \le P(|X-\lambda| \ge \lambda)$$ (Eşitsizliği haklı çıkarmak için şunu unutmayın: $X-\lambda \ge \lambda$ ima eder $|X-\lambda| \ge \lambda$.) Sonra Chebychev eşitsizliğini sağ tarafa uygulayın.