Çift katlı integralde sınırları bulma

Question

Birim çemberi düşünün $x^2 + y^2 = 1$ ve çizgi $y = 3x$. Çemberin çizginin üzerinde kalan kısmının alanını hesaplamak istiyorum$y = 0$ ama çizginin solunda $y = 3x$. Başka bir deyişle, ihtiyacım var$y > 3x$ ve $y > 0$ tutmak.

NOT: Yukarıdaki resimdeki gölgeli mavi alan dairenin dışına çıksa da, sadece dairenin içinde kalan kısmın alanını istiyorum.

Bu sorunu çözmenin güzel bir geometrik yolu var mı? Bunu bir çift katlı integral ile çözmeye çalıştım, ancak sınırları tam olarak anlayamıyorum. Herhangi bir çözümden memnunum. İkinci çeyreğin tamamının alana sahip olduğunu biliyorum$\pi/4$ama son parçayı bulmak zor.

Doğrudan açıyı bulmayı düşündüm $x = 0$ -e $y = 3x$ yan uzunlukları olan bir dik üçgen çizerek $3$ ve $1$. Bu, açının olduğu anlamına gelir$\theta = \arctan(1/3)$ama buradan bölgeyi nasıl anlayabilirim?

Answer 1

Öyleyse kolay bir yol, doğrunun pozitif ile çarptığı açıyı bulmaktır. $x$ekseninde $t = \arctan 3$ ve kutupta, alanınız olur $$ A = \int_{\theta = t}^{\theta = \pi} \int_{r=0}^{r=1} rdrd\theta $$ ve yüksekliğin verildiği hacim $h(r,\theta)$ dır-dir $$ V = \int_{\theta = t}^{\theta = \pi} \int_{r=0}^{r=1} h(r,\theta) rdrd\theta. $$

Hacimle ilgilenmiyorsanız ve sadece alana ihtiyacınız varsa, dairenin alanıyla orantılıdır ( $A_\circ = \pi$) açıların oranı gibi, yani $$ A = \frac{\pi - t}{2\pi} A_\circ = \frac{\pi - t}{2}. $$