Çoğu grup değişmezdir

Question

Evan Chen'in peçetesinin 41. sayfasından çoğu grubun değişmez olduğunu belirtir. Bu, alışılmadık bir soruyu düşünmeme neden oldu:$$C_n:=\text{number of nonisomorphic abelian groups of order }n$$ $$G_n:=\text{number of nonisomorphic groups of order }n.$$ Üzerinde bilinen herhangi bir sonuç var mı $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{C_n}{G_n}$ veya $\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{C_n}{G_n}$? Dan Bildirimi burada , için$p$ sahip olduğumuz en önemli şey $C_{p^3}/G_{p^3}=3/5$, böylece çıkarabiliriz $$\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{C_n}{G_n}\leq\frac{3}{5}$$ ve ayrıca o zamandan beri $C_{p^2}/G_{p^2}=1$, sahibiz $$1\leq \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{C_n}{G_n}.$$ Sorum şu, bu sınırlar geliştirilebilir mi ve kesin değeri belirlemek mümkün mü?

Düzenleme: O zamandan beri farkındayım $C_n/G_n\leq 1$ hepsi için $n$, belli ki sahibiz $\limsup_{n\rightarrow\infty}C_n/G_n=1$. Öyleyse unut bunu.

Answer 1

Eğer $n=2^k$, $k\gg 1$, sonra $C_n\ll G_n$, Böylece $\liminf=0$.