Çoklu patlamalar

Question

Sanırım içeride düşünürüm $\mathbb{P}^6$alt çeşitler $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ ve $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Neyin patladığını anlamak istiyorum $\mathbb{P}^6$ boyunca $Y,Z$. Harris'in Cebirsel Geometri kitabının ardından,$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: ideali $Y$ dır-dir $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$ve bu nedenle rasyonel bir haritam var

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ ve $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ grafiği ile ilişkili kapalı çeşittir $\phi$.

Şimdi patlatmak istiyorum $\mathbb{P}^6$ boyunca $Z$bu yüzden çalışmam gerektiğini düşünüyorum

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

ve burada birkaç sorum var:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Sanırım, yukarıdaki prosedürü tekrarladığım için, merak ediyordum da$n$-blow ups, örneğin, kartezyen bir üründe yaşıyor $n+1$-projektif boşluklar (onları bir Segre haritası aracılığıyla açıkça gömmeme rağmen);
• Aynı anda patlayabilir miyim $\mathbb{P}^6$ boyunca $Y,Z$? Aynı yapıyı elde ediyor muyum?
• (Yukarıdaki soruya bağlı olarak): eğer $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Evet, bunu yapabilirsiniz - ne zaman bir şeyi (yerel olarak) havaya uçursanız $d$ içindeki denklemler $X$patlamanızı ürüne yerleştirebilirsiniz $X\times\Bbb P^{d-1}$. Bu, patlamanın göreceli bir proje olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ve yerel olarak $X$ bir sürpriz yaşarız $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ ki (yapıştırmadan sonra) kapalı daldırmaya karşılık gelir $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Evet eğer $Y,Z$ iki ayrık kapalı alt şemadır ve sonra tüm patlamalar $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ ve $Bl_{Y\cup Z} X$aynıdır. Bu, yerel olarak doğrulanabilir çünkü patlamalar, patlattığınız şeyden uzaktaki izomorfizmlerdir.
3. Uygun bir şekilde genelleme yaptığımızda, sonucumuzun bir kısmının 2 doğrulamadan kaynaklandığı ortaya çıkıyor: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(bu Eisenbud ve Harris'in The Geometry of Schemes içindeki Lemma IV-41'dir ). Bunun katı dönüşüm değil, toplam dönüşüm olduğuna dikkat edin - katı dönüşümler sıraya duyarlıdır. Bunun eşit olup olmadığı$Bl_{Y\cup Z}(X)$ muhtemelen nasıl olduğuna bağlı olmalı $Y$ ve $Z$ kesişiyor, ancak şu anda elimde öğretici örnekler yok ve temelde tekilliklerin çözümüne yönelik tüm genel teori, pürüzsüz bir merkez boyunca bir patlama olduğu varsayılarak geliştirildi, bu da sizi tekrar 2 durumuna getiriyor.