Darboux Teoremine Converse
Türevlenebilirlikle ilgili kavramlar üzerine düşünüyordum. Özellikle, sürekli olmak, bir ters türeve sahip olmak (yani bir şeyin türevi olmak) ve Ara Değer Özelliği (Ara Değer Teoreminin sonucunu tatmin etmek, bazen Darboux fonksiyonu olarak adlandırılır).
Sürekli işlevler, Int Value Thm ile IVP'ye sahiptir, ancak tersi yanlıştır. Sürekli fonksiyonların Fund Thm of Calc tarafından ters türevleri vardır, ancak türevlerin sürekli olması gerekmez. Ve türev olan fonksiyonlar Darboux Teoremine göre IVP'ye sahiptir.
Bulamadığım sonuç, IVP ile işlevlerin ters türevi olması gerekip gerekmediğidir. Bu tür sorular için klasik karşı örnekler işlevlerdir.$f(x)=x^n\sin\left(\frac1x\right)$. Ama bakarsak, söyle$f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$, bu IVP'ye sahip, ancak Darboux Teoremini kullanamayacağımız için bunun ters türevi olmadığını gösteren hangi yöntemler var?
Yanıtlar
IVP ile bir işlevin mutlaka bir ters türevi olması gerekmez. Temel neden, bir IVP işlevinin son derece kesintili olabilmesidir, ancak ters türevi olan bir işlev bunu yapamaz.
Biraz daha ayrıntılı olarak, Conway Base 13 işlevi IVP'ye sahip olan ancak hiçbir yerde sürekli olmayan bir işlevdir.
Öte yandan, eğer $f$ bir ters türevi vardır o zaman $f$Türev olmanın tanımına bakarak görebileceğimiz bir Baire sınıf 1 fonksiyon (yani, sürekli fonksiyonların noktasal sınırı) olmalıdır. Bir Baire sınıf 1 fonksiyonunun süreksizlikler kümesi her zaman yetersiz bir kümedir.
Bir araya getirildiğinde, bu iki şey Conway işlevinin ters türevi olmayan bir IVP işlevi olduğunu göstermektedir.