Değerleme Halkaları $\mathbb{Q}$
Soru: Değerleme halkaları nelerdir? $\mathbb{Q}$?
Daniel Bump'ın kitabından bazı Cebirsel Geometri okumaya başladım. Değişmeli cebir konusunda pek bir geçmişim yok (bu nedenle bu özel kitabın seçimi, bu anlamda daha çok kendine özgü olduğundan). Bu, kitaptan Alıştırma 2.2.
Değerleme halkası için verilen tanım $R$ bir alanın $F$ bu mu $R$ alt grubudur $F$ öyle ki $x\in F\setminus\{0\}$ ima eder $x\in R$ veya $x^{-1}\in R$. Değerleme halkalarının yerel olduğunu da biliyorum.
Formun alt kısımlarını görmek kolaydır $\{a/b\in \mathbb{Q}\; |\; p\nmid b\}$ (için $p$ asal) değerleme halkalarıdır $\mathbb{Q}$. Yani soru, bu gibi halkaların tüm değerleme halkalarını tüketip tüketmediğine$\mathbb{Q}$? Benim tahminim evet yapıyorlar. Bunu göstermenin doğrudan (temel) bir yolu var mı?
Yanıtlar
Cevap evettir, çünkü bir alandaki değerleme halkaları, hakimiyet ilişkisi için yerel alt halkalar arasında maksimum alt halkalar olma özelliği ile de karakterize edilir (yani, daha küçük halkanın maksimum ideali, daha büyük halkanın maksimum idealinde bulunur) .
Biraz daha ayrıntı : herhangi bir alt halka$V\subset\mathbf Q$ içerir $\mathbf Z$, ve eğer $\mathfrak m$ maksimal idealidir $V$, $\mathfrak m\cap\mathbf Z $ bir asal tarafından üretilir $p$ ve açıkça $\mathbf Z_{(p)}$ hakimdir $V$. Aynı zamanda bir değerleme halkası olduğu için, maksimum olarak, elimizde$\mathbf Z_{(p)}=V$.