Değişken olarak ODE $r$

Question

Eminim bu basit bir soru ama yardıma ihtiyacım olacak.

Değişkenlerin ayrılmasını kullanarak bir PDE'yi çözmeye çalışırken bir ODE ile karşılaştım.

Aşağıdaki ODE'yi çözmek istiyorum: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Çözüm şudur $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Taktığınızda kontrol ediyor, ancak çözümü nasıl elde ederiz?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Şu şekilde yeniden yazın: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Şimdi şu şekilde çözün: $$y''+\lambda^2y=0$$ Nerede $y=rR(r)$. Çözülmesi kolay, ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklem.