Derece eşitliğini kanıtlayın

Question

$\newcommand{\rank}{\mathrm{rank}}$

Aşağıdaki doğrusal cebir alıştırmasını bir ders kitabından çözmeye çalışıyorum.

İzin Vermek $P_1, P_2, \ldots, P_k, Q_1, Q_2, \ldots, Q_k$ sipariş ol $n$ sayı alanı üzerindeki matrisler $F$, ve $P_iQ_j = Q_jP_i$, $\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i), 1 \leq i, j \leq k$. Kanıtlamak,\begin{align*} \rank(P_1P_2\cdots P_k) = \rank(P_1\cdots P_kQ_1\cdots Q_k). \end{align*}

Şimdiye kadar oldukça bilgisizim. Durum iken$\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i)$ ima eder $P_i = P_iQ_iR_i$ bazı siparişler için $n$ matris $R_i$, Değişme koşulunu doğru şekilde nasıl uygulayacağımı bilmiyorum.

Dava için $k = 2$bunu göstermeye çalışmak faydalı görünüyor $\text{Im}(P_1P_2Q_1Q_2) \subset \text{Im}(P_1P_2)$. Bu yüzden herhangi birini aldım$x \in \text{Im}(P_1P_2)$dolayısıyla $x = P_1P_2y = P_1P_2Q_2R_2y$ bazı $y \in F^n$. Sonra sıkıştım.

Answer 1

Bunu tümevarımla ispatlayacağız, temel durumu ayrıntılı olarak yazacağım (o zaman, tümevarım adımında zorluk yaşarsanız, yardım istemekten çekinmeyin).

k = 2:

$rank(P_1P_2)=rank(P_2)-dim(KerP_1\cap ImmP_2)$ (sondaki nota (*) bakın)

$rank(P_1P_2Q_1Q_2)=rank(P_1Q_1P_2Q_2)=rank(P_2Q_2)-dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$

ilk geçiş için değişme koşulunu ve ikincisi için (*) kullandım.

Koşula göre: $rank(P_i)=rank(P_iQ_i)$ şunu anlıyoruz: $rank(P_2)=rank(P_2Q_2)$. Yani şunu göstermeliyiz:$dim(KerP_1\cap ImmP_2)=dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$.

Bunu görmek çok kolay: $KerP_1\subseteq KerQ_1P_1=KerP_1Q_1$ ve: $ImmP_2Q_2\subseteq ImmP_2$. Ama bunu da biliyoruz$dim(KerP_1)=dim(KerP_1Q_1)$ (iki matris aynı sıraya sahip olduğundan, Sıra sıfırlık teoremini izler) ve $dim(ImmP_2Q_2)=dim(ImmP_2).$ Böylece şu sonuca varabiliriz: $KerP_1=KerP_1Q_1$, $ImmP_2Q_2=ImmP_2$.

Hesaba katıldığında $KerP_1\cap ImmP_2=KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2$, aynı boyuta sahip oldukları sonucuna varıyoruz.

(*) $General$ $fact$: Verilen $A$ (boyut matrisi $m\times n$) ve $B$ (boyut $n\times k$) bizde var: $rank(AB)=rank(B)-dim(KerA\cap ImmB)$

$Proof$: Matrisleri doğrusal haritalar olarak yorumlayabiliriz. Sahibiz:$A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$, $A:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^n$, $AB:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^m$.

$Imm(AB)=A(ImmB)=Imm(A_{|ImmB})$ ve $Ker(AB)=Ker(A_{|ImmB})=KerA\cap ImmB$.

Bu nedenle: $rank(B)=dim(ImmA_{|ImmB})+dim(KerA_{|ImmB})=dim(ImmAB)+dim(KerA\cap ImmB)$.