Devlet i vurma olasılığı

Question

Markov zincirini yeni öğrenmeye başladım ve bu soruyu nasıl çözeceğime dair hiçbir fikrim yok

Bir karınca, 0 ile işaretlenmiş tepe noktasından başlayarak bir küpün kenarları boyunca yürür. Bir tepe noktasına ulaştıktan sonra, karınca her biri için eşit olasılıkla bu tepe noktasına rastlayan kenarlara doğru devam eder.

Karıncayı bekleyen α ve β işaretli iki köşede 2 örümcek vardır. Karıncanın örümcek tepe noktasına α ulaşma olasılığı nedir? Ya tepe noktası β?

Answer 1

Bu problem, kolay bir çözümü kabul edecek kadar basitleştirilebilir. İşinizi kontrol etmek için Markov Zinciri hesaplamaları üzerinde çalışırken bunu bir kılavuz olarak kullanın.

---

İzin Vermek $p_s$ bitme şansı olmak $\alpha$ tepe noktasından başlarken $s.$ Bulmalıyız $p_0.$ Kaçınılmaz olarak tırtıl yapıştırılmış olacağı için (bunu kanıtlayın!), $1-p_s$ bitme şansı $\beta.$

Küpün simetrilerinden dikkat edin ki

$$p_0 = 1-p_3;\quad p_1=p_5=1-p_2=1-p_4.$$

Dan beri $p_\alpha=1$ ve $p_\beta=0,$bu da bizi sadece iki nicelik bulmaya ihtiyaç duyuyor; söyle,$p_0$ ve $p_1.$

Sadece üç hamle mümkündür $0,$ her biri eyaletlere eşit olasılığa sahip $1,3,$ ve $5.$ Bu nedenle (bunu koşullu olasılık açısından titizlikle belirtin!)

$$p_0 = \left(p_1+p_3+p_5\right)/3 = \left(p_1+1-p_0+p_1\right)/3 = (1-p_0+2p_1)/3,$$

ifade etmemize izin veren $p_1$ açısından $p_0,$

$$p_1 = (4p_0-1)/2.$$

Eyaletten $1$ devletlere denkleştirilebilir üç hareket var $0, 2,$ ve $\alpha,$ nereden

$$p_1 = (p_0+p_2+p_\alpha)/3 = (p_0 + 1-p_1 + 1)/3.$$

Öncül denklemle birlikte bu, benzersiz bir çözüm sağlar

$$p_0 = 4/7.$$

Tam çözüm artık doğrudan yukarıdakilerden şu şekilde hesaplanabilir:

$$(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_\alpha,p_\beta) = (8, 9, 5, 6, 5, 9, 14, 0)/14.$$