Dır-dir $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

İşte sorun:

İzin Vermek {$X_n$}$_{n\geq0}$ negatif olmayan azalan bir RV dizisi olabilir, yani $X_n\leq X_{n-1}$, $\forall n \geq1$, öyle ki $P(0\leq X_0<\infty)=1$.

Bu doğru mu $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? Ve eğer$E(X_0)<\infty?$

Peki eğer doğruysa $\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$o zamandan beri işimiz bitti $\sup_{n\geq1}X_n=X_1$ve bu durumda şunu söyleyebiliriz $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$ Eğer $E(X_0)<\infty$, monoton yakınsama teoremi ile. Bu yüzden ilk soruya hayır, ikinciye evet derdim.

Haklı mıyım eşitsizlik mi$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$ genellikle monoton diziler için doğru mu?

Her zaman olduğu gibi, yardımlarınız için çok teşekkürler.

Answer 1

$EX_n$ azalıyor. $sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$ yani $sup_n EX_n<\infty$ iff $EX_1 <\infty$. Fakat$P(0\leq X_0 <\infty)=1$ ima etmiyor $EX_1 <\infty$ ama eğer $EX_0 <\infty$ sonra $EX_1<\infty$ çok.