Dır-dir $X/R$ homeomorfik $\mathbb R$?

Question

Göz önünde bulundurun $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ indüklenmiş topolojisi ile donatılmış $\mathbb R^2$. İçinde$X$ denklik ilişkisini tanımlayın:

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

Bölümün doğru mu $X/R$ homeomorfiktir $\mathbb R$?

Sanırım öyle çünkü biz tanımlarsak $f: X\rightarrow \mathbb R$ ayar $f(x, y)=x$ sonra

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

yani $f$ bölüme iner $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ tarafından $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

Bu harita $f$ süreklidir çünkü eğer $\mathcal{U}$ açık $\mathbb R$ sonra

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ açık $X$. Bu ima eder$\widehat{f}$süreklidir. Açıkça$\widehat{f}$ bir bijeksiyon, ancak bunun bir homeomorfizm olduğunu göstermek için argümanı bitiremiyorum.

Teşekkürler.

Answer 1

Doğru fikre sahipsiniz, ancak açıklığı görmek için, açık olan $X/R$ tam olarak tüm setlerden oluşur $U\subseteq X/R$ öyle ki denklik sınıfları üzerine projeksiyonun ön görüntüsü $X\to X/R$ açık.

Ön görüntüler tam olarak setlerle verilmiştir $S\subseteq X$ bu denklik ilişkisi altında kapalı olan, yani $s\in S$sonra her $s'$ ile $sRs'$S de olmalıdır. Başka bir deyişle, eşdeğerlik sınıflarının birliği (hatta bölümlenmiş) olmalıdır. Bu durumda denklik sınıfları şu şekildedir:$\{x\}\times (0,\infty)$. Bu nedenle, S formunda olmalıdır$\mathcal S\times (0,\infty)$.

Ürün topolojisinin tanımına göre, bu, $X$ ancak ve ancak $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ açık.

Böylece harita $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ alma $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ -e $x$ açık bir kümeyi eşler $\mathcal U\times (0,\infty)$ açık sete $\mathcal U$ve bitirdiniz.