Doğalların "co-small" topolojisi?

Question

Doğalların tüm alt kümelerini düşünün, $2^\Bbb{N}$. Bir alt küme diyoruz$A \subseteq \Bbb{N}$ küçük eğer$\sum_{a \in A} \frac{1}{a} < \infty$ve aksi takdirde büyük . Küçük alt kümeler kümesi$\Bbb{N}$, $$X := \{ A \in 2^\Bbb{N}: A \text{ is small} \},$$keyfi kesişim ve sonlu birleşim altında kapalıdır. Bu, bir topoloji tanımlayabileceğimizi gösterir.$\Bbb{N}$ aşağıdaki gibi: Bir elemanı çağırın $U \in 2^{\Bbb{N}}$ co-small if$U^c := \Bbb{N} \setminus U$küçük. Sonra co-small topoloji$\Bbb{N}$ önemsiz olmayan açık kümelerin olduğu topolojidir (yani, $\Bbb{N}$ve boş küme) ko-küçük kümelerdir. Bu bir topolojidir çünkü co-küçük kümeler kümesi keyfi birleşim ve sonlu kesişim altında kapalıdır. Bu topoloji altında,$\Bbb{N}$ dır-dir $T_1$ (herhangi iki farklı nokta için $a, b$ bir mahalle var $a$ ayrık $b$ ve tam tersi) ancak Hausdorff değil (her iki ortak küçük kümenin ortak küçük kesişim noktası olduğundan, herhangi iki mahalle farklı noktalardan $a, b$örtüşecek). İçindeki tek kompakt setler$\Bbb{N}$bu topoloji altında sonlu kümeler vardır; ancak,$\Bbb{N}$ bu topolojide ayrık değildir (çünkü tek noktalı kümeler birlikte küçük olamaz).

Sorular:

1. Bu topolojinin resmi bir adı var mı ve literatürde hiç çalışılmış mı? Dır-dir$\Bbb{N}$ eş-küçük topolojide homeomorfik, daha iyi bilinen veya anlaşılan başka bir alana mı?

2. Sürekli işlevler nelerdir $\Bbb{N}$Sabit işlev veya özdeşlik işlevi gibi önemsiz örnekler dışında , ortak küçük topoloji altında kendisine ? ( Tek sürekli haritalar$\Bbb{N}$ co-small topolojisinde $\Bbb{R}$olağan topolojide sabit fonksiyonlardır. )

3. Ayrıca düşünebiliriz $\Bbb{N}$ bariz ölçüye sahip ayrı bir ölçü alanı olarak $$\mu(A) := \sum_{a \in A} \frac{1}{a}.$$Her açık kümenin sonsuz ölçüsü vardır ve sonlu ölçülü kümeler kapalıdır. Ayrıca, her unsuru$2^\Bbb{N}$ ölçülebilirdir ve bundan önemsiz bir şekilde her işlevin $f: \Bbb{N} \to \Bbb{R}$ veya $\Bbb{C}$ölçülebilir. Ölçü ayrıca güzel bir şekilde ölçeklenir:$\mu(kA) = \frac{\mu(A)}{k},$ nerede $kA := \{ ka: a \in A \}$. Bu ölçü, sayı teorisi veya kombinatorikteki herhangi bir ilginç soruna uygulanabilir mi? Herhangi bir haritanın ergodikliğini kanıtlamak için kullanılıyor mu?

Answer 1

Sürekli fonksiyonlarla ilgili olarak $\mathbb N$ co-small topolojisinde kendine:

Bir harita $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ co-small topolojisinde süreklidir ancak ve ancak sabitse veya büyük kümeleri büyük kümelerle eşlerse.

Daha fazla bildirimde bulunmaksızın aşağıdaki gözlemleri kullanacağım:

1. Küçük kümelerin alt kümeleri küçüktür. Süper büyük setler büyüktür.
2. $\overline X=\mathbb N$ herkes için $X$.
3. Co-küçük kümeler büyüktür.

Yukarıdaki iddiamın kanıtına bakalım. Elbette,$f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ süreklidir ancak ve ancak $f(\overline{X})\subset \overline{f(X)}$ hepsi için $X\subset \mathbb N$. Eğer$X$kapalıdır, bu önemsiz bir durumdur. Eğer$X$ kapalı değil, yani ne küçük ne de tümü $\mathbb N$, sonra $\overline X= \mathbb N$ ve bu yüzden şart $f$ sürekli olmak, herkes için $X$ Sahip olmamız lazım $f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}$. Ayırt edilmesi gereken temelde iki farklı durum vardır;$f( \mathbb N)$ küçük ya da değil.

Eğer $f(\mathbb N)$ o zaman büyük $f$ devam edecek, $\overline{f(X)}$büyük bir set içermelidir, bu nedenle kendisi de büyük olmalıdır. Ama sonra$f(X)$Başlamak için büyük olmalı. Tersine, eğer$f$ büyük kümeleri büyük kümelerle eşler, ardından $f(\mathbb N)\subset \mathbb N=\overline{f(X)}$, istediğiniz gibi.

Eğer $f( \mathbb N)$ küçük, öyleyse her biri $f(X)$; Böylece,$f(X)=f(\mathbb N)$ her büyüklük için $X$, için $f(X)\subset f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}=f(X)$. Bunun ancak mümkün olduğunu iddia ediyorum$f$ sabittir.

Aslında izin ver $m\in f(\mathbb N)$keyfi ol. Dan beri$\{m\}$küçük, kapalı. Bu nedenle,$f^{-1}m$ kapalıdır, dolayısıyla küçük veya tümü $\mathbb N$. İkinci durum şu anlama gelir:$f$sabittir. Eski davayı dışlamaya devam ediyor:$f^{-1}m$ o zaman küçüktü $X=\mathbb N-f^{-1}m$ co-küçük, dolayısıyla büyük, tatmin edici $f(X)=f(\mathbb N)-m\subsetneq f(\mathbb N)$bir çelişki. Bu ispatı tamamlar.

1. ve 3. soru hakkında hiçbir fikrim yok.