Eğer $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ ve $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ bazı $\alpha \in \Phi$.
Bu, Humphreys'in Lie cebirleri hakkındaki kitabındaki 10.10 alıştırmasıdır.
İzin Vermek $\Phi$ Öklid uzayında yatan bir kök sistem olmak $E$ ve izin ver $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ temel olmak $\Phi$. İzin Vermek$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ hepsiyle $k_i\geq 0$ ya da hepsi $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Bunu da kanıtla $\lambda$ bir kökün katı (muhtemelen 0), ya da mevcut $\sigma \in \mathscr W$ (Weyl grubu) öyle ki $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ biraz ile $k_i'>0$ ve bazı $k_i'<0$.
Şu ipucu veriyor: Eğer $\lambda$ herhangi bir kökün katı değilse, altdüzlem $P_\lambda$ ortogonal $\lambda$ dahil değil $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Al$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ ve sonra bul $\sigma \in \mathscr W$ hangisi için $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Ben ispat edemedi o$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$Egzersizi şu şekilde bitirmeyi başardım. Böyle bir$\mu$her noktasından beri $E$ dır-dir $\mathscr W$- temel Weyl odasındaki bir noktaya kadar eşleşme, var $\sigma \in \mathscr W$ doyurucu $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$iddia edildiği gibi. Özellikle her biri$\sigma \alpha_i \in \Phi$yani yazabiliriz $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ bazı (muhtemelen yeni) tamsayılar için $k_i'$. Şimdi,$\mu \in P_\lambda$, yani
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ bazılarının $k_i'>0$ ve bazı $k_i'<0$şartlar gibi $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ hepsi olumlu.
O halde soru şudur: bunu nasıl kanıtlayabilirim?$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Şu ana kadar yaptığım tüm hesaplamalar işe yaramazdı.$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$hiçbir şey ima edemez. Ayrıca basitçe başlamaya çalıştım $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ supposig tarafından $\lambda - c\alpha\neq 0$ ve $P_\lambda \subseteq P_\alpha$ama bu sadece ciyaklıyor $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Herhangi bir yardım? Teşekkür ederim.
Yanıtlar
Lemma : Eğer$H, H_1, ... H_r$ hiper düzlemlerdir (yani $(n-1)$boyutlu alt uzaylar) bazılarında $n$sonsuz bir alan üzerinde boyutlu uzay ve $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, sonra $H = H_j$ bazı $1 \le j \le r$.
Kanıt : Varsayımla
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Artık herhangi iki hiper düzlemin kesişme noktasının boyutu var $n-2$iki hiper düzlem eşit olmadığı sürece. Ancak, RHS'deki sendikadaki tüm alanlar$(n-2)$- boyutlu, birliktelikleri olamaz$(n-1)$LHS'deki boyutsal uzay . QED.
Bunu probleminize uygulamak için: $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, sonra lemma tarafından bir kök var $\alpha$ öyle ki $P_\lambda = P_\alpha$sonuç olarak $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$yani $\lambda$ skaler bir katıdır $\alpha$.