Farklı bir limite dönüşür

Question

Metrik uzay var mı $(\mathbb{R}, d)$ öyle ki sıra $\{\frac{1}{n}\}$ yakınsamak $3?$

İşte farklı sınırlara yakınsayan bir cevap dizisi

Bunu denedim: Let $A=\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}, B=3+A$. Ayrıca izin ver

$f(x)= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} x & x\notin A\cup B \\ x+3 & x\in A \\ x-3 & x\in B \end{array} \end{array} $

ve $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. Ardından sıra 3'e yakınlaşır

Answer 1

Evet, bu başarılı bir inşaat!

Genel olarak, eğer $(M,\delta)$ herhangi bir metrik uzaydır ve $f\colon \Bbb R\to M$ herhangi bir enjeksiyon işlevi, o zaman $d(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ bir metrik tanımlar $\Bbb R$, "geri çekilme" deniyor $\delta$ -e $\Bbb R$. (Buradaki fikir, görüntülerin mesafelerinin "şuradaki" ne olduğunu görerek sadece "buradaki" mesafeleri ölçmektir.) Sizin yapınız bunun özel bir durumudur.$M =\Bbb R$ ve $\delta$ olağan metrik olmak $\Bbb R$.

(Gerçekte, geri çekmeler herhangi bir küme için tanımlanır, yalnızca $\Bbb R$.)