Füzyon kategorilerinde Schur ortogonalite ilişkisi

Question

İzin Vermek $\mathcal{F}$değişmeli füzyon kategorisinin Grothendieck halkası olabilir. İzin Vermek$(M_i)$ füzyon matrisleri ve $(\mathrm{diag}(\lambda_{i,j}))$eşzamanlı köşegenleştirmeleri. Al$M_1=id$, Böylece $\lambda_{1,j}=1$. Sayılar$$c_j:=\sum_i \vert \lambda_{i,j} \vert^2$$genellikle resmi kod yazmaçları olarak adlandırılır . Füzyon kategorisi için$Rep(G)$ ile $G$Schur ortogonalite ilişkileri ile sonlu grup ,$(|G|/c_j)$ sınıf boyutları ve $$ \sum_j \frac{1}{c_j} \lambda_{i,j} \overline{\lambda_{i',j}} = \delta_{i,i'}. $$

Soru : Her değişmeli karmaşık füzyon kategorisi için yukarıdaki eşitlik doğru mu? Eğer öyleyse, her değişmeli füzyon halkası için doğru mu?

Answer 1

V. Ostrik tarafından yazılan bu makalede Lemma 2.3'e göre ( G. Lusztig'in bu makalesinde Önerme 19.2 (b) ' yi kullanmaktadır):$$ \sum_i \lambda_{i,j} \overline{\lambda_{i,j'}} = \delta_{j,j'} c_{j} $$ İzin Vermek $U$ matris ol $(\frac{1}{\sqrt{c_j}}\overline{\lambda_{i,j}})$. Yukarıdaki eşitlik şu anlama gelir:$U^*U = id$yani $U$bir izometridir. Ancak sonlu boyutlu durumda, bir izometri üniterdir, bu nedenle$UU^* = id$ ayrıca, bu şu anlama gelir: $$ \sum_j \frac{\overline{\lambda_{i,j}}}{\sqrt{c_j}} \frac{\lambda_{i',j}}{\sqrt{c_j}} = \delta_{i,i'}. $$ Sonuç aşağıdaki gibidir (her değişmeli füzyon halkası için).