Gerekli ama yeterli değil
Bu soru burada zaten iki kez, yani burada ve burada soruldu, ancak yanıtların hiçbiri benim özel soruma cevap vermiyor , muhtemelen bu yanıt dışında , yakın gelen.
Yani, yakın cevabın notasyonunu kullanarak, tupleları neden dışlamak zorunda olduğumu anlamıyorum. $(T,T)$ ve $(F,F)$.
"Q gerekli ama P için yeterli değil" cümlesine R diyelim.
Gelince $(F,F)$, Q da yanlış olduğunda P yanlışsa, bu R = doğru ile sonuçlanmalıdır; Q, P için gerekli olduğundan, Q'nun yokluğu P'nin yokluğunu ima etmelidir Bu durumda neden R'nin yanlış olmasını isteyeyim?
Ve için $(T,T)$Daha eksiksiz bir resim hayal edeceğim. Diyelim ki P, Q'ya ve toplu olarak W olarak adlandırılan diğer bazı faktörlere bağlıdır. Şimdi, satırı bölmeliyiz$(T,T)$2'ye, biri W yanlış ve diğeri W doğru. W true durumunda, R, T olarak değerlendirilmelidir ve W false durumunda, R yanlış olarak değerlendirmelidir. Hangi temelde, o zaman, ekarte etmeye karar vermeliyiz$(T,T)$orijinal ifadede! Bence, kavga$(T,T)$ karar verilemez olmalıdır.
Birisi bana neden doğru cevabın olduğunu açıklayabilirse minnettar olurum $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ başka bir şekilde
"gereklidir" şuna çevrilir ve "yeterlidir" şu anlama gelir, bu nedenle birincinin ikincinin olumsuzlanmasıyla birleşimi doğru cevabı verir.
Teşekkürler
Yanıtlar
İfade "$P$ için gerekli $Q$"demek" $Q$, Biz sahip olmalıyız $P$"veya $Q \to P$bununla birlikte ters pozitif $\neg P \to \neg Q$.
İfade "$P$ için yeterli $Q$"demek" eğer sahipsek $P$kesinlikle sahibiz $Q$"veya $P \to Q$bununla birlikte ters pozitif $\neg Q \to \neg P$.
Yani, ifade "$P$ gerekli ama yeterli değil $Q$"olarak yazılabilir $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ Verdiğiniz örnekte, $Q = q$ süre $P = \neg r \land \neg p$ diğer sorunun özellikleri nedeniyle ve bunları yerine koyarsak $P$ ve $Q$, alıntı yaptığınız ifadeyi alıyoruz.
Mantıksal ifadeye dikkatlice bakarsanız, $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ yalnızca bir durumda doğrudur: ne zaman $P$ doğru, ama $Q$yanlış. Neden? Çünkü gözlemlemek için$P$ yeterli olmadığı için$Q$, $P$ gerçekleşmeli ve $Q$ yine de başarısız olmak zorunda.
Bu ne için sezgilerimizle uyuşmuyor "$P$ gerekli ama yeterli değil $Q$"demek. Şöyle bir şey söylemek istiyoruz:
Bazı durumlar var $P$ olur ve $Q$ değil, çünkü $P$ için yeterli değil $Q$. Ancak, her durumda$Q$ olur, $P$ ayrıca olur: $P$ için gerekli $Q$.
Böyle şeyler söylemek için mantıksal ifadelerin dili yeterli değildir! "Bazı durumlar" ve "tüm durumlar" hakkında konuşmak için niceleyicilerimiz olmalı.
İzin Vermek $P(x)$ ve $Q(x)$ "durumunda" göstermek $x$, $P$ durumunda "ve" tutar $x$, $Q$ tutar ". Ardından:
- "$P$ için gerekli $Q$" anlamına geliyor $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ için yeterli $Q$" anlamına geliyor $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. Olumsuzluğu basitleştirir$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
İfade "$P$ gerekli ama yeterli değil $Q$"daha sofistike bir yoruma sahip $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ Yani: "Her durumda $x$ nerede $Q(x)$ tutar, $P(x)$ayrıca tutar. Ancak, bir durum var$P(x)$ tutar, ama $Q(x)$ değil".
Gibi çıplak bir ifade $P(x) \land Q(x)$ ne doğru ne de yanlış, çünkü $x$ölçülmez. Evrensel ifade$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ yanlıştır (aksi halde, $P$ için yeterli olurdu $Q$), ancak bu mümkündür $\exists x\,P(x) \land Q(x)$doğru. Bu, "Bence,$(T,T)$ kararsız olmalıdır ", ancak bu nicelik belirteçleri olmadan konuşabileceğimiz bir şey değil: nicelik belirteçleri olmadan satırların karar verilemez olmasına izin verilmez.
Buradaki sorun, mantıksal bağla sembolize edilen maddi çıkarımları ele almanızdır. $\to$sanki gündelik bir ima kavramıymış gibi; değil.
'$Q$ için yeterli $P$'tam olarak şu anlama gelir: $Q$ o zaman doğru $P$doğru olmalı; biz bunu resmileştiriyoruz$Q\to P$. Eğer$P$ ve $Q$ her ikisi de yanlıştır, bu tamamen doğrudur, çünkü gerçeği hakkında hiçbir şey söylememektedir. $P$ ne zaman $Q$yanlış. Bu basitçe maddi çıkarımın çalışma şeklidir. Böylece,$R$ ne zaman yanlış olmalı $P$ ve $Q$ ikisi de yanlıştır, çünkü bu durumda $Q$ için yeterli$P$.
Sonuç, her ikisi de $P$ ve $Q$ doğrudur çünkü $P$doğru; yine, bu maddi çıkarımın nasıl işlediğidir. Sezgisel terimlerle, ima$Q\to P$ gerçek değerine sahip $F$ ancak yanlışlığı gerçekte $P$ ve $Q$ve bu yalnızca ne zaman $Q$ doğru ve $P$yanlış. Diğer tüm durumlarda, gerçek değeri$T$. Böylece,$R$ ne zaman da yanlış olmalı $P$ ve $Q$ ikisi de doğrudur.
Aynı şeyi biraz farklı kelimelerle söylemek de $(F,F)$ ne de $(T,T)$ olasılığını dışlar $Q$ için yeterli $P$bir durumda, çünkü bizde yok $Q$ve diğer durumda, çünkü bizde $P$. Olasılığını dışlayan tek durum$Q$ için yeterli $P$ dır-dir $(F,T)$. Eğer iddia edersek$R$ yapar $Q$için yeterli değil$P$olasılığını dışlıyoruz $Q$ için yeterli $P$bu yüzden iddia ediyoruz ki $P$ yanlış ve $Q$ doğru.