Grubu düşünün $\mathbb{Z}_{20}$

Question

Grubu düşünün $\mathbb{Z}_{20}$ ve izin ver $H = \langle [4]\rangle $ tarafından oluşturulan alt grup olmak $4$. Tüm unsurlarını listeleyin$\mathbb{Z}_{20}/H$ ve bölümün döngüsel olduğunu gösterin.

Sanırım burada terminoloji konusunda bir anlayış eksikliğim var. bunu biliyorum$\mathbb{Z}_{20}/H$ sadece sol kosetlerini temsil eder $H$ama o zamandan beri $H = \langle [4]\rangle$ tarafından oluşturulan alt gruptur $4$, bu tam olarak ne anlama geliyor?

Bölümün de döngüsel olduğunu nasıl göstereceğimi anlıyorum, işte benim girişimim:

Eğer bir eleman varsa $a \in G$ öyle ki $\langle a\rangle = G$G'nin döngüsel bir grup olduğunu söylüyoruz. Ancak burada buna ihtiyacımız olduğunu sanmıyorum. Bu sorunun ilk kısmından, eğer sıra asal ise, o zaman gecikme teoremi veya daha doğrusu kitabımdaki bir teorem ile bunu elde ederiz.$\mathbb{Z}_{20}/H$ döngüsel ve işimiz bitti.

Answer 1

Bir siklik grubun herhangi bir homomorfik görüntüsü döngüseldir. Böylece, kanonik izdüşümü dikkate alarak bölümün döngüsel olduğunu elde edebilirsiniz.

Bölümün elemanları, elemanlarının denklik sınıflarıdır. $\Bbb Z_{20}$ katları ile farklılık gösteren $4$.

Beş element olduğu için $\langle 4\rangle$bölümün sırası var $4$.

Answer 2

Bir bölümü birçok yönden anlayabilirsiniz, en geometrik olanı (genel gruplar durumunda) Cayley Grafiğinde karşılık gelen grubun çökmesi gibi olacaktır, ancak daha cebirsel bir tarafa geri dönecek olursak: Burada, $[4]$ normal bir alt grup olarak adlandırılan şeydir, yani sol kosetleri sağ kosetleri ile aynıdır, bu yüzden $G/H$sadece kümesidir kalan sınıfları arasında$H$. Bir alt grubun kosetleri$H$ denklik sınıfları tarafından tanımlanan $a \sim b \equiv aH = \{ ah | h \in H\} = bH$. Bu alt gruba göre bölümlere ayırdığınızda, tüm bu kosetlerin setini alırsınız ve ona doğal ürünü verirsiniz.$gHfH = gfH$bir grup yapmak için. Şimdi sezgisel olarak grubunuzu, alt grubunuzun "çevrilebileceği" veya grubunuzda hareket ettirilebileceği yollar arasında bölmek istiyorsunuz. Burada öğelerin nasıl olduğunu bilmek istiyorsunuz$\mathbb{Z}_{20}$ ile çarparak davranmak $4$. Ancak herkes için$g \in \mathbb{Z}_{20}$ açıkça sahipsin $(g + 4)H = gH$ böylece içeride "modulo 4" yapıyorsunuz $\mathbb{Z}_{20}$, yani $\mathbb{Z}_{20}/H$ unsurları kümesidir $\mathbb{Z}_{20}$ ile çarpıldığında farklı alt gruplar üreten $[4]$Emsal açıklama ile ne oldukları hakkında iyi bir fikre sahip olmalısınız. Şimdi bunun döngüsel olduğunu göstermek için, döngüsel bir alt gruba izomorfik olduğunu kanıtlamanız gerekir ki bu, ne olduğunu çıkardıktan sonra kolay olacaktır.$\mathbb{Z}_{20}/H$ dır-dir.

Answer 3

Bunun bir yolu, öğeleri listelemek ve sıfırdan yapmaktır:

$\mathbb Z_{20}=\{[0]=(0,20,\cdots),\ [1]=(1,21,\cdots),\cdots, [18]=(18,38,\cdots \ ),\ [19]=(19,39,\cdots \ )\}.$

Ve $[4]=(4,24,\cdots).$ Şimdi, $\mathbb Z$ Abelian olduğundan, grup işlemi koset toplamadır.

O zamandan beri $[4]+[4]+[4]+[4]+[4]=[0]$ yani $\langle [4]\rangle$ düzen döngüsü $5$.