İki alt uzaydan temeli bulmak

Question

Bu problem, iki alt uzayın birleşmesinin ve kesişiminin temelini bulmayı içerir.

Sahibiz $V$ ve $U$ alt uzayları olan $\mathbb R^4$

$$V = \begin{Bmatrix} {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + x_2 = x_3 + x_4}\end{Bmatrix}$$ $$U = span \{ \begin{bmatrix}0\\0 \\1 \\1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\0 \\1 \\1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1 \\2 \\-1 \\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \} \\ $$

Aşağıdakiler için boyutu ve temeli bulmak istiyoruz:

$a)\text{ } U + V$
$b)\text{ } U \cap V$

Girişim: Önce U'nun sütun uzayını ve V için bir temel bulmaya çalışayım. $$rref(U) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$ Yalnızca ilk üç sütunun pivot öğeleri olduğundan, yalnızca ilk üç satır $U$ sütun alanını oluşturun: $\begin{bmatrix}0\\0 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\0 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1 \\2 \\-1\end{bmatrix}$

Şimdi bir temel bulalım $V = \begin{Bmatrix} {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + x_2 = x_3 + x_4}\end{Bmatrix}$. Bunu, artık yapamayana kadar kısıtlamayı karşılayan vektörler yaparak yaptım. Bunu yapmanın yanlış yolu buysa, lütfen bana bildirin!

Bulduğum vektörler şunlardı: $\begin{bmatrix}1\\1 \\2 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1 \\0 \\2\end{bmatrix}$.

Bu yüzden, bunun boyutunu ve temelini bulmak istediğimizi biliyorum $U + V$. Sanırım şimdi yapmam gereken, yukarıdaki yedi vektörün hepsinin doğrusal olarak bağımsız vektörlerini bulmak. Vektörlerin sayısı boyut olacak ve temel sadece bağımsız vektörler olacak. Doğru?

Aynı şeyi nasıl yapmalıyım $U \cap V$. "Kesişme" sembolü beni şaşırttı. Sadece ikisinin ortak noktası olan vektörlerin temelini listelememi mi istiyorlar?

Answer 1

• Bir nitpick: Belirli bir altuzay için benzersiz bir temel olmadığından, genellikle "temel" yerine "temel" der.
• İçin yaklaşımınız $U+V$ çalışacak.
• Kavşak için: herhangi bir üyenin $U$ üç temel öğenin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir $U$bulduğun. Yani, her unsuru$U$ formda $(3b, -c, a+b+2c, a+b-c)$ nerede $a,b,c$skalerdir. Bu da aitse$V$o zaman sahip olmalıyız $3b-c = 2a+2b+c$ yani $b = 2(a+c)$. Yani unsurları$U \cap V$ formda $(6a+6c, -c, 3a + 4c, 3a + c)$. Onu buradan alabilir misin?