İlk verilerdeki bir parametre ile Cauchy problemi

Question

Düşünmek

\ mathbb {R} \ end {case} içinde \ {case} y '= y ^ {\ frac {1} {3}} \\ y (0) = k \ başlayın

• Hangi değerler için $k$ sorunun benzersiz bir yerel çözümü var mı?
• Bunu diğer değerler için göster $k$ sorunun birden fazla çözümü var

---

ben) $f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$ sürekli bir fonksiyondur $\mathbb{R}^2$, süre $f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$ süreksiz olan $0$. Bu nedenle, herhangi bir mahallede$(0,k)$ ile $k\ne0$, $f_y$ süreklidir ve dolayısıyla yerel varoluşa ve çözümün benzersizliğine sahibim.

ii) İlk önce şunu not ediyorum $f(t,y)$Lipschitz değil, bu yüzden benzersiz olmasını beklemiyorum. Gerçekten için$k=0$, $y(t)=0$ bir çözüm ve entegrasyon sayesinde $$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

** Her şey doğru mu? **

Answer 1

Birinci kısım doğru, ikinci kısım doğru değil. Ama iyi bir fikrin vardı.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$ sonra $y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

Şimdi düşünün $y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$ ve kontrol et $y'=y^\frac{1}{3}$.